Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên năm học 2012 - 2013 môn: Toán

1 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO 
TẠO 
TỈNH NINH BÌNH 
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN 
NĂM HỌC 2012-2013 
Môn: TOÁN 
Ngày thi: 26/6/2012 
Thời gian làm bài:120 phút (không kể thời gian giao đề) 
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang 
Câu 1 (2 điểm). Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: 
2 2 2 3 0x mx m+ − − = (1) 
1. Giải phương trình (1) với m = -1. 
2. Xác định giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm 1 2,x x sao cho 
2 2
1 2x x+ 
nhỏ nhất. Tìm nghiệm của phương trình (1) ứng với m vừa tìm được. 
Câu 2 (2,5 điểm). 
1. Cho biểu thức 
3
3
6 4 3 1 3 3
3
3 2 3 4 1 33 3 8
x x x
A x
x x xx
  + +
= − −   + + +−  
a. Rút gọn biểu thức A. 
b. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. 
 2. Giải phương trình: 
( )1 1 1x x x x+ − + − = 
Câu 3 (1,5 điểm). Một người đi xe đạp từ địa điểm A tới địa điểm B, quãng đường AB dài 24 
km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4 km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về 
ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A tới B. 
Câu 4 (3 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Giả sử M là điểm thuộc 
đoạn thẳng AB (M không trùng A, B), N là điểm thuộc tia đối của tia CA (N nằm trên đường 
thẳng CA sao cho C nằm giữa A và N) sao cho khi MN cắt BC tại I thì I là trung điểm của MN. 
Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) tại điểm P khác A. 
 1. Chứng minh rằng các tứ giác BMIP và CNPI nội tiếp. 
 2. Giả sử PB = PC, chứng minh rằng tam giác ABC cân. 
Câu 5 (1 điểm). Giả sử x, y là những số thực thoả mãn điều kiện 2 2 1x y+ = , tìm giá trị lớn 
nhất của biểu thức: 
2
x
P
y
=
+
HẾT 
Họ và tên thí sinh :..................................................... Số báo danh:.................................. 
Họ và tên, chữ 
ký: 
Giám thị 1:......................................................................................... 
Giám thị 2:......................................................................................... 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
2 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
 AN GIANG TRƯỜNG THPT CHUYÊN 
 Môn : TOÁN (ĐỀ CHUNG) 
Khóa ngày 15/6/2013 
Thời gian làm bài : 120 phút 
 (Không kể thời gian phát đề) 
Bài 1: (2,0 điểm) 
a) Chứng minh rằng 
b) Giải hệ phương trı̀nh 
Bài 2: (2,0 điểm) 
 Cho hai hàm số và . 
a) Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ. 
b) Tı̀m tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đa ̃cho. 
Bài 3: (2,0 điểm) 
 Cho phương trı̀nh: (*) 
a) Tı̀m y sao cho phương trı̀nh (*) ẩn x có một nghiệm kép. 
b) Tı̀m cặp số (x; y) dương thỏa phương trı̀nh (*) sao cho y nhỏ nhất. 
Bài 4: (4,0 điểm) 
 Cho tam giác ABC vuông cân tại A, D là trung điểm của AC, vẽ đường tròn (O) đường 
kính CD cắt BC tại E, BD cắt đường tròn (O) tại F. 
a) Chứng minh rằng ABCF là tứ giác nội tiếp. 
b) Chứng minh rằng và tam giác DEC vuông cân. 
c) Kéo dài AF cắt đường tròn (O) tại H. Chứng minh rằng CEDH là hı̀nh vuông. 
----------------------- Hết --------------------- 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
Số báo danh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Phòng thi :. . . . . . 
3 
UBND TỈNH BẮC NINH 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN 
NĂM HỌC 2013 – 2014 
Môn thi: Toán (Dành cho tất cả thí sinh) 
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi: 20 tháng 6 năm 2013 
Câu 1. (2,0 điểm) 
 a) Giải phương trı̀nh: 2 3 0.x − = 
 b) Với giá trị nào của x thì biểu thức 5x − xác định? 
 c) Rút gọn biểu thức: 2 2 2 2. .
2 1 2 1
A
+ −
=
+ −
Câu 2. (2,0 điểm) 
Cho hàm số: 1y mx= + (1), trong đó m là tham số. 
 a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm (1;4)A . Với giá trị m vừa tìm được, hàm số 
(1) đồng biến hay nghịch biến trên ?
 
 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng d: 2 1.y m x m= + + 
Câu 3. (1,5 điểm) 
 Môṭ người đi xe đap̣ từ A đến B cách nhau 36 km. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng 
vâṇ tốc thêm 3 km/h, vı̀ vâỵ thời gian về ı́t hơn thời gian đi là 36 phút. Tı́nh vâṇ tốc của người 
đi xe đap̣ khi đi từ A đến B. 
Câu 4. (3,0 điểm) 
 Cho nửa đường tròn đường kính BC, trên nửa đường tròn lấy điểm A (khác B và C). 
Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Trên cung AC lấy điểm D bất kì (khác A và C), 
đường thẳng BD cắt AH tại I. Chứng minh rằng: 
a) IHCD là tứ giác nội tiếp; 
b) AB2 = BI.BD; 
c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AID luôn nằm trên một đường thẳng cố định 
khi D thay đổi trên cung AC. 
Câu 5. (1,5 điểm) 
 a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương ( ; )x y thỏa mãn phương trình: 
 2 22 3 2 4 3 0.x y xy x y+ − + − + = 
b) Cho tứ giác lồi ABCD có 
BAD và 
BCD là các góc tù. Chứng minh rằng 
.AC BD< 
------------Hết------------ 
(Đề này gồm có 01 trang) 
 Họ và tên thí sinh: ..Số báo danh: ..... 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
4 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HẢI DƯƠNG 
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN 
NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014 
Môn thi: TOÁN (không chuyên) 
Thời gian làm bài: 120 phút 
Đề thi gồm : 01 trang 
Câu I (2,0 điểm) 
1) Giải phương trình 2 2(2 1) ( 3) 10+ + − =x x . 
2) Xác định các hệ số m và n biết hệ phương trình 
3 5
2 9
− =

+ =
x my
mx ny
 có nghiệm là (1; 2)− 
Câu II ( 2,0 điểm) 
1) Rút gọi biểu thức 
2 3 1 1
A
1 1 1
− + −
= + −
+ − + +
x x x
x x x x x
 với 0≥x . 
2) Hai người thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 6 ngày xong việc. 
Nếu họ làm riêng thì người thợ thứ nhất hoàn thành công việc chậm hơn người thợ thứ hai là 
9 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người thợ phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc. 
Câu III (2,0 điểm) Cho phương trình 2 2( 1) 2 5 0− − + − =x m x m 
1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm 1 2,x x với mọi m. 
2) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn điều kiện 
( )( )2 21 1 2 22 2 1 2 2 1 0− + − − + − <x mx m x mx m 
Câu IV (3,0 điểm) 
 Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (O; R) thay 
đổi đi qua B và C sao cho O không thuộc BC. Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN với 
đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của BC, E là giao điểm của MN và BC, H là giao điểm 
của đường thẳng OI và đường thẳng MN. 
1) Chứng minh bốn điểm M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn. 
2) Chứng minh 2OI.OH = R . 
3) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. 
Câu V (1,0 điểm) 
 Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu , ,a b c là độ dài ba cạnh của tam giác. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
4 9
S = + +
+ − + − + −
a b c
b c a c a b a b c
. 
----------------------------Hết---------------------------- 
Họ và tên thí sinh....................................................Số báo danh........................................... 
Chữ kí của giám thị 1: ..........................................Chữ kí của giám thị 2: ............................ 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
5 
SỞ GIÁO DUC̣ & ĐÀO TAỌ 
TỈNH KIÊN GIANG 
--------------- 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
(Đề thi có 01 trang) 
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN 
NĂM HOC̣ 2013-2014 
-------------------- 
Môn thi: TOÁN (Không chuyên) 
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi: 20/6/2013 
Bài 1. (2,5 điểm) 
1/ Tı́nh: 5 2 2 9 4 2− + + 
2/ Cho biểu thức: 
3 9
P = 
1 2 2
x
x x x x
+ +
+ − − −
a) Tı̀m điều kiêṇ xác điṇh của P. Rút goṇ P 
b) Với giá tri ̣ nào của x thı̀ P = 1 
Bài 2. (1 điểm) 
Giải hê ̣phương trı̀nh 
1 1
1
3 4
5
x y
x y
 − =

 + =

Bài 3. (1,5 điểm) 
Cho (dm): (2 10 ) 12y m x m= − − + − 
1/ Với giá tri ̣ nào của m thı̀ (dm) đi qua gốc toạ đô ̣
2/ Với giá tri ̣ nào của m thı̀ (dm) là hàm số nghic̣h biến 
Bài 4. (1,5 điểm) 
Môṭ ca nô xuôi dòng 42 km rồi ngươc̣ dòng trở laị 20 km hết tổng côṇg 5 giờ. Biết 
vâṇ tốc của dòng chảy là 2km/h. Tı́nh vâṇ tốc của ca nô lúc dòng nước yên lăṇg. 
Bài 5. (3,5 điểm) 
Cho đường tròn (O) đường kı́nh AB, M là điểm thuôc̣ cung AB, I thuôc̣ đoaṇ thẳng 
OA. Trên nửa măṭ phẳng bờ AB có chứa điểm M kẻ các tia tiếp tuyến Ax, By với (O). Qua 
M kẻ đường thẳng vuông góc với IM cắt Ax taị C. Qua I dưṇg môṭ đường thẳng vuông góc 
với IC cắt tia By taị D. Goị E là giao điểm AM, CI và F là giao điểm ID và MB. 
1/ Chứng minh tứ giác ACMI và tứ giác MEIF nôị tiếp 
2/ Chứng minh EF // AB 
3/ Chứng minh ba điểm C, M, D thẳng hàng 
4/ Chứng tỏ rằng hai đường tròn ngoaị tiếp hai tam giác CME và MFD tiếp xúc nhau 
taị M 
Hết. 
Thı́ sinh không đươc̣ sử duṇg tài liêụ, giám thi ̣ không giải thı́ch gı ̀thêm. 
Ho ̣và tên thı́ sinh:Số báo danh: 
Chữ ký giám thi ̣ 1:.Chữ ký giám thi ̣ 2: 
6 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO 
TẠO 
TỈNH NINH BÌNH 
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN 
NĂM HỌC 2012-2013 
Môn: TOÁN 
Ngày thi: 27/6/2012 
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao 
đề) 
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang 
Câu 1 (2 điểm). 
 1. Với 2x > , rút gọn biểu thức 
3 2 2 2
3 2 2 2
3 ( 4) 1 4
( )
3 ( 4) 1 4
x x x x
A x
x x x x
+ + − − −
=
− + − − +
. 
 2. Cho ( ),x y là nghiệm của phương trình 2 2 4 0x y xy x y+ − + = . Tìm giá trị lớn nhất 
của y. 
Câu 2 (1,5 điểm). Cho biểu thức: 
1 1 1
3 2 3 2 3 2
P
a b ab b c bc c a ca
= + +
+ + + + + + + + +
với a, b, c là các số thực làm cho P xác định và thoả mãn điều kiện: 
0a b c ab bc ca abc+ + + + + + = . Chứng minh rằng P = 1. 
Câu 3 (2,5 điểm). 
 1. Giải hệ phương trình: 
( )
( )( )
2 2
5 4 4 2 2
2 
2 2
xy x y
x x y x y x y
 + =

= + + + −
 2. Với x, y là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
( )1 13 3 2Q x y
x y
  = + + + +  
  
Câu 4 (3 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Kẻ các đường 
cao AA’, BB’, CC’. Gọi S và 'S lần lượt là diện tích của các tam giác ABC và A’B’C’. 
1. Chứng minh: AO vuông góc với B’C’. 
2. Chứng minh: S = 
1
2
P.R (với P là chu vi tam giác A’B’C’). 
3. Chứng minh: 2 2 2
'
cos cos cos 1
S
A B C
S
+ + = − . 
Câu 5 (1 điểm). Trên một đường tròn ta viết theo chiều kim đồng hồ 2 số 1 và 48 số 0 theo 
thứ tự 1, 0, 1, 0, , 0. Ta được phép biến đổi các số trên đường tròn như sau: tại mỗi bước 
chọn hai số bất kì nằm liền kề nhau, giả sử là x và y rồi thay x bởi ( )1x + và thay y bởi ( )1y +
. Chứng minh rằng không thể thu được một dãy 50 số bằng nhau sau một số hữu hạn các phép 
biến đổi như trên. 
HẾT 
Họ và tên thí sinh :..................................................... Số báo 
danh:.............................................. 
Họ và tên, chữ 
ký: 
Giám thị 
1:.................................................................................................. 
Giám thị 
2:.................................................................................................. 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
7 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
 AN GIANG TRƯỜNG THPT CHUYÊN 
 Môn : TOÁN (ĐỀ CHUYÊN) 
 Khóa ngày 15/6/2013 
 Thời gian làm bài : 150 phút 
 (Không kể thời gian phát đề) 
Bài 1: (3,0 điểm) 
a) Chứng minh rằng 
b) Chứng minh rằng nếu thı̀ phương trı̀nh bậc hai 
 luôn có hai nghiệm phân biệt. 
c) Giải phương trı̀nh: 
Bài 2: (2,0 điểm) 
Cho hàm số 
a)Vẽ đồ thị hàm số đa ̃cho. 
b) Tính diện tích tam giác tạo bởi đồ thị hàm số và trục hoành. 
Bài 3: (2,0 điểm) 
 Cho hệ phương trı̀nh 
a) Giải hệ phương trı̀nh. 
b) Tı̀m để hệ phương trı̀nh có nghiệm sao cho nhỏ nhất. 
Bài 4: (3,0 điểm) 
Cho hı̀nh vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn (O); M là điểm bất kỳ trên cung 
nhỏ CD; MB cắt AC tại E. 
a)Chứng minh rằng góc . 
b)Chứng minh rằng hai tam giác MAB và MEC đồng dạng, từ đó suy ra 
c) Chứng minh 
----------------------- Hết --------------------- 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
Số báo danh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Phòng thi :. . . . . . 
8 
UBND TỈNH BẮC NINH 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN 
NĂM HỌC 2013 – 2014 
Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) 
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi: 20 tháng 6 năm 2013 
Câu 1. (1,5 điểm) 
 a) Rút gọn biểu thức 
2 2 1 1
:
1 1 1 1
x x x
A
x x x x x x x
 + + +
= + + 
− + + − + + 
 với 0, 1x x≥ ≠ . 
 b) Cho 
( ) 33 1 . 10 6 3
21 4 5 3
x
− +
=
+ +
, tính giá trị của biểu thức ( )20132 4 2 .P x x= + − 
Câu 2. (2,0 điểm) 
Cho phương trình: 2 22 4 2 1 0x mx m− + − = (1), với x là ẩn, m là tham số. 
a) Chứng minh với mọi giá trị của m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. 
b) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là 1 2, .x x Tìm m để 
2 2
1 22 4 2 9 0.x mx m+ + − < 
Câu 3. (1,5 điểm) 
a) Cho các số dương x, y thỏa mãn 3 3x y x y− = + . Chứng minh rằng 2 2 1.x y+ < 
b) Giải hệ phương trình: 
2
2
2
2 1
2 1.
2 1
x y
y z
z x
 = +

= +
 = +
Câu 4. (3,0 điểm) 
 Cho đường tròn tâm O đường kính 2BC R= , điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho 
tam giác ABC nhọn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là hai tiếp 
điểm). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, F là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng: 
a) Năm điểm A, O, M, N, F cùng nằm trên một đường tròn; 
b) Ba điểm M, N, H thẳng hàng; 
c) 2 2. .HA HF R OH= − 
Câu 5. (2,0 điểm) 
 a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương ( ); ;x y z thỏa mãn 2013
2013
x y
y z
+
+
 là số hữu tỷ, 
đồng thời 2 2 2x y z+ + là số nguyên tố. 
b) Tính diện tích của ngũ giác lồi ABCDE, biết các tam giác ABC, BCD, CDE, DEA, 
EAB cùng có diện tích bằng 1. 
------------Hết------------ 
(Đề này gồm có 01 trang) 
 Họ và tên thí sinh: ..Số báo danh: ..... 
ĐỀ CHÍNH 
9 
SỞ GD&ĐT VĨNH 
PHÚC 
————— 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 
HỌC 2013-2014 
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán 
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề. 
————————— 
Câu 1 (3,0 điểm). 
a) Giải hệ phương trình: ( )
1
5 , ,
z 2
xy x y
yz y z x y z
x z x
= + +
 = + + ∈
 = + +

 
b) Giải phương trình: ( )2 23 2 1 6 3 1 2 2 2 1 ,x x x x x x x+ + + − + = + + + + − ∈
 . 
Câu 2 (2,0 điểm). 
 a) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì ( )2013 2013 20132 1 2 ... n+ + + chia hết cho ( )1n n+
. 
 b) Tìm tất cả các số nguyên tố ,p q thỏa mãn điều kiện 2 22 1p q− = . 
Câu 3 (1,0 điểm). Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn 1abc = . Chứng minh: 
( )( ) ( )( ) ( )( )
3
1 1 1 1 1 1 4
a b c
a b b c c a
+ + ≥
+ + + + + +
Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC, AB AC< . Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao 
kẻ từ A, B, C. Gọi P là giao điểm của đường thẳng BC và EF. Đường thẳng qua D song song 
với EF lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC, CF tại Q, R, S. Chứng minh: 
a) Tứ giác BQCR nội tiếp. 
b) 
PB DB
PC DC
= và D là trung điểm của QS. 
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC. 
Câu 5 (1,0 điểm). Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba 
chữ số a, b, c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16? 
------------------HẾT------------------ 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! 
Họ và tên thí sinh:; SBD:. 
10 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HÀ NAM 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 
Năm học: 2013 – 2014 
Môn: Toán (Chuyên Toán) 
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao 
đề) 
Bài 1. (2,0 điểm) 
 Cho biểu thức M = 
( ) ( )2 2 - 3 3 2 - 3 - 2
2 3
a a a b b a b a a
a ab
+ +
+
a) Tìm điều kiện của a và b để M xác định và rút gọn M. 
b) Tính giá trị của M khi a = 1 3 2+ , b = 
11 8
10
3
+ 
Bài 2. (2,0 điểm) 
 Cho phương trình x3 – 5x2 + (2m + 5)x – 4m + 2 = 0, m là tham số. 
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3. 
b) Tìm giá trị của m để x12 + x22 + x32 = 11. 
Bài 3. (1,0 điểm) 
 Cho số nguyên dương n và các số A = 
2
444....4
n
1243 (A gồm 2n chữ số 4); B = 888.....8
n
14243 (B 
gồm n chữ số 8). Chứng minh rằng A + 2B + 4 là số chính phương. 
Bài 4. (4,0 điểm) 
Cho đường tròn (O), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D. Từ điểm M tuỳ ý 
trên d kẻ các tiếp tuyếnMA và MB với (O) (A và B là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm 
của CD. 
a) Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp. 
b) Các đường thẳng MO và AB cắt nhau tại H. Chứng minh H thuộc đường tròn 
ngoại tiếp ∆ COD. 
c) Chứng minh rằng đương thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi 
trên đường thẳng d. 
d) Chứng minh 
2
2
MD HA
 = 
MC HC
Bài 5. (1,0 điểm) 
 Cho ba số thực a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 2013. 
Chứng minh 
a b c
+ + 1
a + 2013a + bc b + 2013b + ca c + 2013c + ab
≤ . 
Dấu đẳng thức sảy ra khi nào? 
Hết 
Họ tên thí sinh:.Số báo danh:. 
Chữ ký của giám thị số 1:Chữ ký của giám thị số 2: 
 2
Mét sè ®Ò «n thi vµo chuyªn to¸n 
§Ò 1 
Bµi 1: (8 ®iÓm) Cho parabol 2
1
( ) :
3
P y x= . 
1. ViÕt ph−¬ng tr×nh c¸c tiÕp tuyÕn cña (P), biÕt c¸c tiÕp tuyÕn nµy ®i qua ®iÓm 
(2;1)A . 
2. Gäi d lµ ®−êng th¼ng ®i qua ®iÓm (2;1)A vµ cã hÖ sè gãc m. Víi gi¸ trÞ nµo cña m 
th× ®−êng th¼ng d c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M vµ N, khi ®ã t×m quÜ tÝch trung 
®iÓm I cña ®o¹n th¼ng MN khi m thay ®æi. 
3. T×m quÜ tÝch c¸c ®iÓm M0 tõ ®ã cã thÓ kÎ ®−îc hai tiÕp tuyÕn cña parabol (P) vµ 
hai tiÕp tuyÕn nµy vu«ng gãc víi nhau. 
Bµi 2: (4®iÓm) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: 
2 2 19
7
x y xy
x y xy
 + − =

+ + = −
Bµi 3: (8 ®iÓm) Cho nöa ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB cè ®Þnh. C lµ mét ®iÓm bÊt k× 
thuéc nöa ®−êng trßn. ë phÝa ngoµi tam gi¸c ABC, vÏ c¸c h×nh vu«ng BCDE vµ ACFG. 
Gäi Ax, By lµ c¸c tiÕp tuyÕn cña nöa ®−êng trßn. 
1. Chøng minh r»ng khi C di chuyÓn trªn nöa ®−êng trßn ®· cho th× ®−êng th¼ng 
ED lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh vµ ®−êng th¼ng FG lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh 
kh¸c. 
2. T×m quÜ tÝch cña c¸c ®iÓm E vµ G khi C di chuyÓn trªn nöa ®−êng trßn ®· cho. 
3. T×m quÜ tÝch cña c¸c ®iÓm D vµ F khi C di chuyÓn trªn nöa ®−êng trßn ®· cho. 
§Ò 2 
Bµi 1: (7 ®iÓm) 
1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 4 41 2 9 6 2x x x x+ − + + − = 
2. Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ c¸c sè kh«ng ©m vµ b lµ sè trung b×nh céng cña a 
vµ c th× ta cã: 
1 1 2
a b b c c a
+ =
+ + +
Bµi 2: (6 ®iÓm) 
1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 
2
2
3 5
1
x x
y
x
+ +
=
+
. 
2. T×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh: 2 22 3 2 4 3 0x y xy x y+ + − − + = 
Bµi 3: (7 ®iÓm) Cho ®−êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R, hai ®−êng kÝnh AB vµ CD vu«ng 
gãc víi nhau. E lµ ®iÓm bÊt k× trªn cung AD. Nèi EC c¾t OA t¹i M, nèi EB c¾t OD t¹i 
N. 
1. Chøng minh r»ng tÝch 
OM ON
AM DN
⋅ lµ mét h»ng sè. Suy ra gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng 
OM ON
AM DN
+ , khi ®ã cho biÕt vÞ trÝ cña ®iÓm E ? 
2. Gäi GH lµ d©y cung cè ®Þnh cña ®−êng trßn t©m O b¸n kÝnh R ®· cho vµ GH 
kh«ng ph¶i lµ ®−êng kÝnh. K lµ ®iÓm chuyÓn ®éng trªn cung lín GH. X¸c ®Þnh vÞ 
trÝ cña K ®Ó chu vi cña tam gi¸c GHK lín nhÊt. 
 3
§Ò 3 
Bµi 1: (8 ®iÓm) Cho ph−¬ng tr×nh 2 22 2 2 0 (1).x mx m− + − = . 
1. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm d−¬ng ph©n biÖt. 
2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt 1x vµ 2x tho¶ 
m·n hÖ thøc 3 31 2
5
2
x x+ = . 
3. Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm kh«ng ©m. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó nghiÖm 
d−¬ng cña ph−¬ng tr×nh ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. 
Bµi 2: (4®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2 24 3 4x x x x− + = − (2) 
Bµi 3: (8 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã 060 ; ;ABC BC a AB c∠ = = = ( ,a c lµ hai ®é dµi cho 
tr−íc), H×nh ch÷ nhËt MNPQ cã ®Ønh M trªn c¹nh AB, N trªn c¹nh AC, P vµ Q ë trªn 
c¹nh BC ®−îc gäi lµ h×nh ch÷ nhËt néi tiÕp trong tam gi¸c ABC. 
1. T×m vÞ trÝ cña M trªn c¹nh AB ®Ó h×nh ch÷ nhËt MNPQ cã diÖn tÝch lín nhÊt. 
TÝnh diÖn tÝch lín nhÊt ®ã. 
2. Dùng h×nh vu«ng EFGH néi tiÕp trong tam gi¸c ABC b»ng th−íc kÎ vµ com-pa. 
TÝnh diÖn tÝch cña h×nh vu«ng ®ã. 
§Ò 4 
Bµi 1: (7 ®iÓm) 
1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: 
4
4
3 4
3 4
x y
y x
 + =

+ =
2. Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ c¸c sè tho¶ m·n c¸c bÊt ®¼