Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2010-2011 - Sở GD & ĐT Thái Bình (Có đáp án)

Sở Giáo dục - Đào tạo
thái bình
đề chính thức
Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên
Năm học 2010 - 2011
Môn thi: Toán
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (2,5 điểm) 
1. Giải phương trình: (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) - 3 = 0
2. Tính giá trị của biểu thức A = (x3 - 3x - 3)2011 với 
Bài 2. (2,0 điểm) 
Cho hệ phương trình: (a, b, c là tham số)
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ phương trình trên có nghiệm là:
a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài 3. (2,0 điểm) 
1. Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn:
2. Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0). Biết rằng P(m) = P(n) (m ạ n). Chứng minh: mn ³ 
Bài 4. (3,0 điểm) 
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là điểm trên cung nhỏ AB (I không trùng với A và B). Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu của I trên các đường thẳng BC, CA và AB.
1. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
2. Xác định vị trí của I để đoạn MN có độ dài lớn nhất.
3. Gọi E, F, G theo thứ tự là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC, CA và AB. Kẻ EQ vuông góc với GF. Chứng minh rằng QE là phân giác của góc BQC.
Bài 5. (0,5 điểm) 
Giải bất phương trình:
--- Hết ---
Họ và tên thí sinh:... Số báo danh:.
Sở Giáo dục - Đào tạo
thái bình
Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên
Năm học 2010 - 2011
Đáp án - biểu điểm môn Toán
 (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)
(Đáp án gồm 05 trang)
Bài
ý
Nội dung
điểm
Bài 1
1. Giải phương trình: (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) - 3 = 0
2.Tính giá trị của biểu thức A = (x3 - 3x - 3)2011 với
(2.5đ)
1)
(1.5đ)
0.25
Đặt 
Ta có PT: 
0.5
. Vì nên 
0.5
Do đó 
Vậy PT đã cho có hai nghiệm 
0.25
2)
(1.0đ)
Đặt 
0.5
Ta có 
0.5
Bài 2
Cho hệ phương trình: (a, b, c là tham số)
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ phương trình trên có nghiệm là:
a3 + b3 + c3 = 3abc
(2.0đ)
Điều kiện cần : Giả sử HPT đã cho có nghiệm (x ; y) . Khi đó 
0.5
0.5
0.5
Điều kiện đủ: Giả sử 
0.25
a+b+c=0 , nhận thấy HPT có nghịêm : x = y = -1
a=b=c , nhận thấy HPT có nghiệm : x = 0 ; y=1 (hoặc x = 1 ; y = 0)
Vậy nếu thì HPT đã cho có nghiệm 
0.25
Bài 3
1. Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn:
2. Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0). 
Biết rằng P(m) = P(n) (m ạ n). Chứng minh: mn ³ 
(2.0đ)
1)
Vì x > 0 nên 
0.25
x = 1 , (1) không được thoả mãn 
0.25
 , 
Vì x, y 
0.25
.Hai giá trị này của x thay vào (1) đều cho y = 2
Vậy các giá trị nguyên dương x, y cần tìm là và 
0.25
2)
Do P(m) = P(n) nên 
0.5
 ( Do )
 (vì )
0.25
0.25
Bài 4
Bài 5
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là điểm trên cung nhỏ AB (I không trùng với A và B). Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu của I trên các đường thẳng BC, CA và AB.
1. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
2. Xác định vị trí của I để đoạn MN có độ dài lớn nhất.
3. Gọi E, F, G theo thứ tự là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác 
 ABC với cạnh BC, CA và AB. Kẻ EQ vuông góc với GF. Chứng minh 
 rằng QE là phân giác của góc BQC.
3.0
1)
Từ giả thiết có Tứ giác IPAN nội tiếp 
 (cùng chắn cung IN)
0.75
Lại do Bốn điểm I , P , M , B nằm trên đường tròn đường kính BI
0.5
Vì 
Từ (2) và (3) 
0.25
Từ (4) và (1) 
Vậy M , P , N thẳng hàng .
0.25
2)
Theo chứng minh trên ta có 
 (góc nội tiếp cùng chắn cung IP của đường tròn qua 4 điểm I , B , M , P)
 (góc nội tiếp cùng chắn cung IP của đường tròpn qua 4 điểm I , N , A , P)
Từ (5) và (6) 
0.25
0.25
Dấu "=" xảy ra là đường kính của .Vậy MN nhỏ nhất bằng AB I đối xứng với C qua O .
0.25
3 )
Gọi B' , C' lần lượt là hình chiếu của B và C trên GF . 
Chứng minh được , suy ra 
0.25
Lại có 
Từ (8) và (9) suy ra (10)
Từ (7) và (10) 
Vậy QE là phân giác của góc BQC .
0.25
Giải bất phương trình:
 0.5
ĐKXĐ: 2x3+4x2+4x=x(x2+(x+2)2)0x0
BPT
Đặt A = 
 B = 
Với x0, ta có A1,B > 0.Vì vậy
BPT 
0.25
Vì . Do đó . Thành thử . BPT 
Kết hợp ĐKXĐ ta được nghiệm của BPT là 
0.25
Chú ý :
 +) Tổ chấm thảo luận để thống nhất biểu điểm chi tiết
 +) Khi chấm yêu cầu bám sát biểu điểm
 +) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho tối đa theo thang điểm
 +) Điểm toàn bài không làm tròn ( lấy đến 0.25