Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên Lê Quý Đôn môn Toán - Năm học 2017-2018 - Sở GD & ĐT Bình Định (Có đáp án)

Phan Hòa Đại Đáp án đề thi THCS Tây Sơn 
 Trang 1 
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2017-2018 
 BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN 
 Đề chính thức Môn thi: Toán ( Chuyên toán-tin ) 
 Ngày thi: 4/6/2017 Thời gian làm bài: 150’ 
Bài 1: (2đ) 
1.Thu gọn biểu thức :
1 3 2 2 3
.
2 3 3 2 2 3
P


 
2. Cho A=1.2.32015.2016.
1 1 1 1
1 ....
2 3 2015 2016
 
     
 
 . 
Chứng tỏ rằng A là số tự nhiên chia hết cho 2017 
Bài 2: (2 đ) 
1. Cho đa thức P(x) = 2x2+bx+c . Tìm các hệ số b,c biết rằng P(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại x=1 
2. Giải phương trình: 
22 2 4 2x x x      
Bài 3: (1 đ) 
Cho các số x,y,z thỏa x2 +4y2 +z2 =4xy+5y-10y+2z-5 Chứng minh rằng 1 2 4x y   
Bài 4: (4 đ) Cho đường tròn (C) tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng 
tại các điểm A’;B’;C’ . Gọi các giao điểm của đường tròn ( C) với các đoạn thẳng IA,IB,IC lần lượt tại 
M,N,P. 
a)Chứng minh rằng ba đường thẳng A’M, B’N, C’P đồng quy . 
b)Tia AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D ( D khác A) . Chứng minh rằng :
.
2 .
IB IC
r
ID
 trong 
đó r là bán kính của đường tròn (C). 
Bài 5: (1,0 đ) Cho hai số dương x và y thỏa mãn đẳng thức : 
2017 2018
1
x y
  . Tìm GTNN của biểu thức 
A= x+y 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
Bài 1: (2đ) 
1.Thu gọn biểu thức 
 
   
          
2
2
3 2 2 31 3 2 2 3 2 3 30 12 6
. 2 3 2 3 5 2 6
2 3 18 12 62 3 3 2 2 3
2 3 3 2 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 1
P
  
        
  
                
2. Đặt B 1.2.3 2015.2016.  
.
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. ....
1 2016 2 2015 3 2014 1008 1009 1008
2017 2017 2017 2017
. .....
2016 2.2015 3.2014 1008.1009
2017. ...
2016
1 1 1 1
1 ....
2 3 2015 201
2.2015 1
6
A B
B
B
B B B

        
                 
        
 
    
 
  
 
     




008.1009
 
 
 
 . 
Mà B 1.2.3 2015.2016.  => ; ;.......;
2016 2.2015 1008.1009
B B B
N N N   
Phan Hòa Đại Đáp án đề thi THCS Tây Sơn 
 Trang 2 
 ... 2017. ; 2017
2016 2.2015 1008.1009
B B B
k N A k N A        
Vậy A là số tự nhiên chia hết cho 2017 
Bài 2: (2 đ) 
1. Cho đa thức P(x) = 2x2+bx+c . Tìm các hệ số b,c biết rằng P(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại x=1 
Ta có : 
   
22 2 2 22
2 2 2 2. 2 . 2
8 8 8 82 2 2 2
b b b b b b
P x x bx c x x c x c c
 
              
 
Dấu “=” xảy ra  2 0 2
42 2 2 2
b b b
x x x        
Do đó P(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại x=1 
2
2
2
2 48
8
41
4
b
bc
c
b
bx

 
  

 
  
    
 Vậy b= -4; c=4 
2. Giải phương trình: 
22 2 4 2x x x      ĐK: 2 2x   
  22 2 4 2 2 2 2 2 2x x x x x x x              
Đặt: 2 0; 2 0x a x b      và đặt S= a+b; P= a.b ( ĐK : 2 4S P ) ta được hệ pt: 
 
 
 
   
 
2 22 2
2
2 22
4
4 2 4 2 8 0
2
2 02 0
(
0 2 2 22
04 2 2 2
(
6 0 2
)
)
ab a b
ab a b ab a ba b ab
a b
a b a b ab a b a b
a b
xa b
TM
T
a
ab b xa b
aba b a x
K
ab
M
b
   
           
        
               
      
  
                    
    
)
2 0
2 4 2(
22
0
)(4
20
x
x TMĐK
TMĐK
x
x Kx
xx
    
              
 Vậy phương trình có 1 nghiệm x= 2 
Bài 3: (1 đ) Cho các số x,y,z thỏa x2 +4y2 +z2 =4xy+5y-10y+2z-5 Chứng minh rằng 1 2 4x y   
*Đề sai: 5x chứ không phải 5y : 
   
     
2 2 2 2 2 2
22 2 2
2 2
 4 4 5 10 2 5 4 4 5 10 2 5 0 
2 4 4 8 16 2 1 3 6 12 0
3 2 4 2 4 1 0 2 4 0 2 4
x y z xy x y z x y z xy x y z
x y xy x y z z x y
x y x y z x y x y
               
             
 
                 
 
Vậy: 2 4x y  Dấu “=” xảy ra khi 
2 4
2 4 0
1 0
1
x y
x y
y R
z
z
 
   
  
   
 (1) 
   
     
2 2 2 2 2 2
22 2 2
2 2
 4 4 5 10 2 5 4 4 5 10 2 5 0 
2 1 4 2 4 2 1 3 6 3 0
3 2 1 2 1 1 0 2 1 0 2 1
x y z xy x y z x y z xy x y z
x y xy x y z z x y
x y x y z x y x y
               
             
 
               
Phan Hòa Đại Đáp án đề thi THCS Tây Sơn 
 Trang 3 
Vậy: 2 1x y  Dấu “=” xảy ra khi 
2 1
2 1 0
1 0
1
x y
x y
y R
z
z
 
   
  
   
 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 1 2 4x y   
Bài 4: (4 đ) a)Chứng minh rằng ba đường thẳng A’M, B’N, C’P đồng quy . 
Ta có 
1 2
1 1
' ' ; ' '
2 2
A C IM A B IM  (góc nt và góc ở tâm cùng chắn 1 cung) 
 Mà ' 'B IM C IM (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) => 1 2' 'A A => A’M là phân giác của ' ' 'A B C 
Chứng minh tương tự ta được B’N, C’P cũng là phân giác của ' ' 'A B C => A’M,B’N,C’P đồng quy. 
b)Tia AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D ( D khác A) . Chứng minh rằng :
.
2 .
IB IC
r
ID
 trong 
đó r là bán kính của đường tròn (C). 
Lấy E đối xứng với I qua A’ => E đối xứng với I qua trục BC => IE= 2IA’= 2r và  ICE cân tại E. Suy ra: 
1 2
0
0
2 1 1
2.
180
' 90
2 2
D BCA C ICE
ACB BAC ABC
A IC C A B BID
  
 
      
Suy ra ICE đồng dạng với IDB
.
2
IC ID IB IC
IE r
IE IB ID
     
Bài 5: (1,0 đ) Cho hai số dương x và y thỏa mãn đẳng thức : 
2017 2018
1
x y
  . Tìm GTNN của biểu thức 
A= x+y 
Dễ dàng chứng minh BĐT với mọi x,y dương ta có: 
 
22 2 a ba b
x y x y

 

 ( dấu “=” khi 
a b
x y
 ) 
1
1
1
3
1
2
21
2
1
2
1
E
D
K
P
N
M
C'
B'
A'
I
A
B
C
Phan Hòa Đại Đáp án đề thi THCS Tây Sơn 
 Trang 4 
Ta có: 
 
 
2
22017 20182017 2018
1 2017 2018x y
x y x y

      

Dấu “=” khi và chỉ khi 
 
20172017 2018
. 2017
. 2018 2017.20182018
2018
2017 2018 2017.2018 2018
1 1 2018 2017.2018
2017 2017.2018
2018 2017.2018
x y
xx y
y
x y y y
x
y

    
   
         
  
 
 
Vậy GTNN của A là  
2
2017 2018 khi 2017 2017.2018; 2018 2017.2018x y   