Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên Khoa học Tự nhiên môn Toán - Năm học 2017-2018 - Đại học Khoa học Tự nhiên (Có đáp án)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2017
MÔN THI : TOÁN ( Cho tất cả các thí sinh)
Thời gian làm bài : 120 phút ( không kể thời gian phát đề )
Câu I. (3.5 điểm )
1) Giải hệ phương trình.
 2) Giải phương trình :
Câu II. (2.5 điểm )
1)Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức
	2) Với a, b là các số thực dương , tìm giá trị lớn nhát của biểu thức 
 Câu III. ( 3 điểm )
 	Cho hình thoi ABCD có . Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABD tiếp xúc với BD,BA lần lượt tại J, L. Trên đường thẳng LJ lấy điểm K sao cho BK song song ID.
a)Chứng minh rằng .
b)Chứng minh rằng .
c)Chứng minh rằng bốn điểm C, K, I ,L cùng nằm trên một đường tròn.
Câu IV. (1 điểm )
 	Tìm tập hợp số nguyên dương n sao cho tồn tại một cách sắp xếp các số 1, 2, ,3,.., n thành mà khin chia các số cho n ta được các số dư đôi một khác nhau
Họ và tên thí sinh:..Số báo danh:.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN 
ĐÁP ÁN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2017
MÔN THI : TOÁN ( Cho tất cả các thí sinh)
Câu I. (3.5 điểm )
1) Giải hệ phương trình.
 2) Giải phương trình :
hướng dẫn giải
1)Giải hệ phương trình.
Từ phương trình (1) suy ra ra: xy=x2+y2-1 (3) thay vào (2) ta được
từ (4) ta có x=y Thay vào 1 ta có :
từ (5) ta có :
với x=y=0 thay vào (1) ta có : 0+0-0=1 (vô lí)
 suy ra x=y=0 không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
 Vậy hệ phương trình đã cho có S= 
2) Giải phương trình: ĐKXĐ: 
đặt: 
 Khi đó (*) trở thành: (1)
 mặt khác ta có (2)
 Xét với b=0 ta có 
 Xét với Từ (2) ta có: (3)
 Từ (1) Và (3) suy ra : 
 Khi đó từ (2) suy ra: 2a2=2 suy ra a=1 ( vì a)
 Do đó a=b=1
 vậy phương trình có nghiệm x=0
Câu II. (2.5 điểm )
1)Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức
2) Với a, b là các số thực dương , tìm giá trị lớn nhát của biểu thức 
Hướng dẫn giải
1)Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức
Chứng minh bổ đề: Nếu số nguyên tố p có dạng: 4n+3 thì (Tự chứng minh)
Ta có:
Áp dụng bổ đề trên ta có  19 là số nguyên tố và19= 4.4+3 nên suy ra :
điều này không xảy ra vì 4617 không chia hết cho192
vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
2) Với a, b là các số thực dương , tìm giá trị lớn nhát của biểu thức 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:
 vậyMax M=1 khi a=b=1
 Câu III. ( 3 điểm )
 	Cho hình thoi ABCD có . Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABD tiếp xúc với BD,BA lần lượt tại J, L. Trên đường thẳng LJ lấy điểm K sao cho BK song song ID.
a)Chứng minh rằng .
b)Chứng minh rằng .
c)Chứng minh rằng bốn điểm C, K, I ,L cùng nằm trên một đường tròn .
Hướng dẫn giải
Ta có mà 
Vậy 
b)Gọi G là giao điểm của CJ và BK
 ta có (Đối đỉnh)
 và (Cùng phụ với )
Mà 
Suy ra tứ giác BCKJ nội tiếp suy ra ( vì ABCD là hình thoi nên hay góc BJC vuông) suy ra 
c)Vì tam giác IJL cân tại I ( J,L Thuộc đường tròn (I)) nên mà (Theo b) và ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung JK) suy ra 
hay suy ra tứ giác IKCL nội tiếp suy ra 4 điểm C, K, I, L cùng nằm trên một đường tròn.
Câu IV. (1 điểm )
 	Tìm tập hợp số nguyên dương n sao cho tồn tại một cách sắp xếp các số 1, 2, ,3,.., n thành mà khi chia các số cho n ta được các số dư đôi một khác nhau
Hướng dẫn giải:
Trước hết ta đi chứng minh bổ đề sau: Với n là hợp số và n>4 thì (n-1)! n
 Thật vậy ta có: Với n là hợp số và n>4 thì n=a.b với a,b là các số nguyên khác 1 và n. suy ra suy ra n-1)! n
từ giả thiết ta có an phải bằng n vì nếu ann; ai=n (i thì
 điều này trái với đề bài cho.
Do đó an=n
 nếu n là một số lớn hơn 4và n là hợp số . theo bổ đề trên ta có a1a2...an-1=(n-1)! n
mà a1a2...an n do đó hai số này chia cho n có cùng số dư là 0 điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Như vậy suy ra n=4( vì n là hợp số)
 Xét với n =4 thì tồn tại dãy số: 1;3;2;4 có 1; 1.3; 1.3.2;1.3.2.4 khi chia cho 4 có số dư lần lượt là 1;3;2;0 thoả mãn đề bài.
 vậy n=4
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2017
MÔN THI : TOÁN ( vòng 2)
Thời gian làm bài : 120 phút ( không kể thời gian phát đề )
Câu I. (3.5 điểm )
1) Giải hệ phương trình.
 2) Với a,b là các số thực dương thỏa mãn ab+a+b=1. Chứng minh rằng:
Câu II. (2.5 điểm )
1)Giả sử p, q là hai số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức: (*) 
	a)Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương Ksao cho: p-1=kq; q2-1=kp
 b)Tìm tất cả các số nguyên tố p; q thỏa mãn đẳng thức (*)
2) Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca+abc=2, tìm giá trị lớn nhấtt của biểu thức 
 Câu III. ( 3 điểm )
 	Cho tam giác ABC nhọn với AB<AC. E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh CA, AB. Trung trực của đoạn thẳng EF cắt BC tại D. Giả sử có điểm P nằm trong và nằm ngoài tam giác AEF sao cho và . PA Cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác PEF tại Q khác P.
a)Chứng minh rằng .
b) Tiếp tuyến tại P của đường tròn ngoại tiếp tam giác PEF cắt các đường thẳng CA, AB lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng 4 điểmC, M, B, N cùng nằm trên một đường tròn . Gọi đường tròn này là đường tròn(K).
c)Chứng minh rằng đường tròn (K). Tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.
Câu IV. (1 điểm )
 	Cho n là số nguyên dương, n5. Xét một đa giác lồi n cạnh. Người ta muốn kẻ số đường chéo của đa giác mà các đường chéo này chia đa giác đã cho thành đúng k miền, mỗi miền là một ngũ giác lồi ( hai miền bất kỳ kgoong có điểm trong chung).
Chứng minh rằng ta có thể thực hiện được với n=2018, k=672.
 Với n=2017. k=672 ta có thể thực hiện được không? Hãy giải thích.
Họ và tên thí sinh:..Số báo danh:.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN 
ĐÁP ÁN TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2017
MÔN THI : TOÁN ( vòng 2)
Thời gian làm bài : 120 phút ( không kể thời gian phát đề )
Câu I. (3.5 điểm )
1) Giải hệ phương trình.
 2) Với a,b là các số thực dương thỏa mãn ab+a+b=1. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải
1) Từ hệ phương trình ĐKXĐ: 
 	Ta có 
 Suy ra: 3+xy=x+3 (3)
 Xét với y-1=0 suy ra y=1 thay vào (2) ta có x2+1+x=3
 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ;y)=(1; 1)
 Xét với y khác 1 thì từ (3) suy ra x=3
 Thay vào (2) ta có 9+y2+3y=3 (vô nghiệm)
 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là :(x ;y)=(1 ;1)
 2) Với a,b là các số thực dương thỏa mãn ab+a+b=1. suy ra 1+a2=ab+a+b+a2=(a+b)(a+1)
1+b2=ab+a+b+b2=(a+b)(b+1)
Khi đó ta có
 Vậy đẳng thức được chứng minh
 Câu II. (2.5 điểm )
1)Giả sử p, q là hai số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức: (*) 
	a)Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương Ksao cho: p-1=kq; q2-1=kp
 b)Tìm tất cả các số nguyên tố p; q thỏa mãn đẳng thức (*)
2) Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca+abc=2, tìm giá trị lớn nhấtt của biểu thức 
h ư ớng d ẫn gi ải: