Đề thi tuyển chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS cấp tỉnh Đồng Tháp năm 2011 môn: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỒNG THÁP 
------------------------------------- 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS 
CẤP TỈNH NĂM 2011 
---------------------------------------------------------------- 
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 
Ngày thi: 13/3/2011 
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) 
(Đề thi gồm có: 01 trang) 
Câu 1: (3 điểm) 
 a) Thu gọn biểu thức: A = 4 10 2 5 4 10 2 5+ + + - + . 
 b) Chứng minh rằng số B dưới đây là số chính phương: 
 B {
2011 sô' 1
11...1= x {
2010 sô' 0
1 00...0 5 + 1. 
Câu 2: (4 điểm) 
 Cho biểu thức: 2Q : 1
11 1
x y x y x y xy
xyxy xy
æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø
+ - + += + +
-- +
 với 0; 0; 1x y xy³ ³ ¹ . 
 a) Rút gọn biểu thức Q. 
 b) Tính giá trị biểu thức Q khi 2
2 3
x =
+
. 
 c) Tìm giá trị lớn nhất của Q. 
Câu 3: (5 điểm) 
a) Giải phương trình : ( x2 + x + 1)( 2x2 + 2x + 3 ) = 3( 1- x – x2 ). 
b) Giải hệ phương trình : 
ïî
ï
í
ì
=+-+
=-++
0441
511
yx
yx
 c) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 
 ( )( )( )abc a b c b c a c a b³ + - + - + - . 
Câu 4: (4 điểm) 
 Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b; · 0 0(0 90 )BAC a a= < < . 
 a) Tính diện tích tam giác ABC theo , , .b c a 
 b) Kẻ trung tuyến AD. Một cát tuyến d quay quanh trọng tâm G của tam giác ABC, d cắt AB 
và AC lần lượt tại M và N (M, N khác A). Chứng minh rằng: AB AC
AM AN
+ không đổi. 
 c) Đặt AM = x. Tính diện tích của tứ giác BMNC theo , , , .b c x a 
Câu 5: (4 điểm) 
 Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kì trên nửa đường 
tròn. Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B lần lượt kẻ 2 tiếp tuyến AC và BD tới 
đường tròn tâm M. 
a) Chứng minh rằng: Ba điểm C; M; D thẳng hàng. 
b) Chứng minh rằng: CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O. 
c) Xác định vị trí của điểm M sao cho tích AC. BD lớn nhất. 
-----HẾT---- 
Họ và tên thí sinh: ________________________ Số báo danh: ___________________________ 
Chữ ký GT1:_____________________________ 
Chữ ký GT2:____________________________ 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
 1 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỒNG THÁP 
--------------------------------------- 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS 
CẤP TỈNH NĂM 2011 
---------------------------------------------------------------- 
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 
Ngày thi: 13/3/2011 
 (Hướng dẫn chấm gồm có: 04 trang) 
Câu 1: (3 điểm) 
NỘI DUNG ĐIỂM 
a) A = 4 10 2 5 4 10 2 5+ + + - + 
 A2 = 8+2 6 2 5- = 6 + 2 5 0,5-0,5 
 A = 5 + 1 0,5 
b) {
2011 sô' 1
11...1B = x {
2010 sô' 0
100...0 5 + 1 
 ( ) ( )
9
410.410
1510
9
110 201140222011
2011 ++
=++×
-
= 0, 25- 0,25 
( ) 2201122011
3
210
9
210
÷÷
ø
ö
çç
è
æ +
=
+
= 0, 25- 0,25 
Do 32102011 M+ nên NÎ+
3
2102011
 0, 25 
Vậy B là số chính phương 0,25 
Câu 2: (4 điểm) 
NỘI DUNG ĐIỂM 
a) 
2
Q : 1
11 1
x y x y x y xy
xyxy xy
æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø
+ - + += + +
-- +
( )( ) ( )( )1 1 1 2
:
1 1
x y xy x y xy xy x y xy
xy xy
+ + + - - - + + +
=
- -
 0,25- 0,25 
2 2 1
1 1
x y x xy
xy x y xy
+ -
= ×
- + + + ( ) ( )
2 2
1 1
x y x
x y x
+
=
+ + +
 0,25- 0,25 
( )
( )( )
2 1 2
1 1 1
x y x
x y x
+
= =
+ + +
 0,25- 0,25 
b) Ta có: 2
2 3
x =
+
( )2 4 2 3 3 1= - = - 0,25-0,25 
 Khi đó: ( )
( )
( )( )
( )22
2 3 1 2 3 2 5 2 3
Q 
4 2 3 1 5 2 3
- - +
= =
- + -
 0,25-0,25 
 2 
 = 
2 6 3
13
+
 0,5 
c) Ta có 
( )212 1 ( 2 1)
1
1 1 1
xx x x x
Q
x x x
-+ - - +
= = = -
+ + +
 0,25- 0,25 
 Do 0³x nên 
( )
1
1
1
1
2
£
+
-
-
x
x
 0,25 
 Dấu “=” xảy ra khi x = 1 và y ¹ 1. Khi đó: Max Q = 1 0,25 
Câu 3: (5 điểm) 
NỘI DUNG ĐIỂM 
a) ( x2 + x + 1)( 2x2 + 2x + 3 ) = 3( 1- x – x2 ). 
 2234 33335742 xxxxxx --=++++Û 081042 234 =+++Û xxxx 0,25- 0,25 
 ( ) 0452 23 =+++Û xxxx ( ) 04)1( 2 =+++Û xxxx 0,25- 0,25 
 ê
ë
é
-=
=
Û
ê
ê
ê
ë
é
=++
=+
=
Û
1
0
04
01
0
2
x
x
xx
x
x
 0,25- 0,25 
 Vậy : S = { -1 ; 0 } 
b) 
ïî
ï
í
ì
=+-+
=-++
)2(0441
)1(511
yx
yx
 Từ (2) suy ra : 441 -=+ yx , thay vào (1) : 914 =-+ yy 0,25- 0,25 
 * Xét 2914:,1 =Û=-+³ yyycótay (thỏa đk 1³y ) 0,25- 0,25 
 Suy ra : x = 3 hoặc x = -5 0,25 
 * Xét 
3
8
914:,1 =Û=+-< yyycótay (loại vì không thỏa đk y < 1) 0,25- 0,25 
Vậy hpt có nghiệm (x ; y) = (3 ; 2) ; (-5 ; 2) 0,25 
c) Chứng minh: ( )( )( )abc a b c b c a c a b³ + - + - + - 
Đặt: 0 ; 0 ; 0x a b c y b c a z c a b= + - > = + - > = + - > 
1 1 1
( ) ; ( ) ; ( )
2 2 2
a x z b x y c y z=> = + = + = + 
0,25 
Ta có : 1 1 1( ). ( ). ( )
2 2 2
abc x z x y y z= + + + (1) 0,25 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si : 
1 1 1
( ) ; ( ) ; ( )
2 2 2
x y xy y z yz x z xz+ ³ + ³ + ³ (2) 0,25 
Từ (1) và (2) suy ra : . .abc xy yz xz abc xyz³ Û ³ 0,25 
Vậy: ( )( )( )abc a b c b c a c a b³ + - + - + - 0,25 
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z hay a = b = c ,tam giác đã cho là tam giác 
đều 0,25 
 3 
Câu 4: (4 điểm) 
NỘI DUNG ĐIỂM 
d
H
F
E
N
D
A
B
C
G
M
a) Tính SABC theo , ,b c a 
Kẻ BH AC^ . Tam giác HAB vuông tại H có: 
sin sinHB AB A c a= = 0,25- 0,25 
1 1
. sin
2 2ABC
S AC HB bc a= = 0,25- 0,25 
b) Chứng minh: Tổng AB AC
AM AN
+ không đổi 
Kẻ BE // MN; CF // MN 
* (1)
AB AE
ABE AMG
AM AG
D D Þ =: * (2)AC AFACF ANG
AN AG
D D Þ =: 0,25- 0,25 
Từ (1) và (2) suy ra: (3)AB AC AE AF
AM AN AG
+
+ = 0,25 
Ta có: ( . . ) 2 (4)BDE CDF g c g ED FD AE AF ADD =D Þ = Þ + = 0,25- 0,25- 
0,25 
Từ (3) và (4) suy ra: 2 3AB AC AD
AM AN AG
+ = = (không đổi) 0,25- 0,25 
c) Tính SBMNC : 
Ta có: 3 3
3
AB AC c b bx
AN
AM AN x AN x c
+ = Þ + = Þ =
-
 0,25 
1
.sin . .sin
2 3BMNC ABC AMN
bx
S S S bc x
x c
a aæ ö= - = -ç ÷-è ø
 0,25- 0,25 
Vậy : 
21
sin .
2 3BMNC
bx
S bc
x c
a
æ ö
= -ç ÷-è ø
 0,25 
 4 
Câu 5: (4 điểm) 
a) Ta có : · · · ·AMC AMH và BMD BMH= = 0,25- 0,25 
 Mà · · · · ·0 090 90AMH BMH AMB nên AMC BMD+ = = + = 0,25- 0,25 
 · · · 0180AMC AMB BMDÞ + + = 0,25 
 Vậy ba điểm C; M; D thẳng hàng 0,25 
b) Do AC // BD, nên ABDC là hình thang vuông 0,25 
 OA = OB; MC = MD => OM là đường trung bình 0,25- 0,25 
 / /OM AC OM CDÞ Þ ^ 0,25- 0,25 
 Vậy CD là tiếp tuyến của (O) 0,25 
c) Ta có : .
2
AC BD
AC BD OM R
+
£ = = 0,25 
 2.AC BD RÞ £ 0,25 
 2max . ,AC BD R khi AC BD= = 0,25 
 Khi đó ABDC là hình chữ nhựt, M là điểm chính giữa của »AB 0,25 
----HẾT---- 
D 
M 
C 
A H B O