Đề thi tuyển chọn học sinh giỏi lớp 9 - Năm hoc: 2016 - 2017 - Trường THCS Nguyễn Biểu

 TRƯỜNG THCS NGUYỄN BIỂU .
 ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9- 
 NĂM HOC : 2016-2017 .
 Đề số 6: 
Cõu 1 ( 2 điểm) Cho biểu thức A = 	
 a. Rỳt gọn biểu thức A
 b. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A
Cõu 2.( 3 điểm) Rỳt gọn cỏc biểu thức sau : 
 A = + 
 B = 
 C = 
Cõu 3 ( 5điểm) Giải phương trỡnh sau:
 a. 
 b. 
 c.Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm dương.
 d. 
 e.
Cõu 4. (4điểm)
a.Tìm nghiệm nguyên x , y biết: x+xy+y=9
b. Tỡm số b nguyờn tố sao cho b+6, b+14, b+12 và b+8 đều là số nguyờn tố.
c.Cho p và 2p+1 là hai số nguyờn tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 4p+1 là hợp số.
d. Chứng minh rằng tớch của bốn số tự nhiờn liờn tiếp thờm 1 là số chớnh phương.
Cõu 5 (1điểm) Chứng minh bất đẳng thức : với x, y, z > 0
Cõu 6. (4 điểm) Cho hỡnh thang vuụng ABCD (AB//CD, = 900) đường cao BH. Điểm M thuộc đoạn HC. Từ D kẻ đường thẳng vuụng gúc với BM, đường thẳng này cắt BH và BM theo thứ tự ở E và F.
a. Chứng minh bốn điểm B, F, H, D cựng nằm trờn một đường trũn và EB.EH = ED.EF.
b. Cho AB= 10 cm, BM= 13 cm, DM= 15 cm.Tớnh độ dài của cỏc đoạn thẳng AD, DF và BF (chớnh xỏc đến 2 chữ số thập phõn).
c. Khi M di chuyển trờn đoạn HC thỡ F di chuyển trờn đường nào?
Cõu 7. (1 điểm) Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. 
Với giỏ trị nào của a và b thỡ M đạt giỏ trị nhỏ nhất ? Tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú.
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VềNG TRƯỜNG MễN TOÁN 9
NĂM HỌC 2011-2012
Cõu 1
a) ĐKXĐ : x0 ; 
A = 
A = 
A = 
A = = = 
1đ
b) A = 
do và ỏp dụng bất đẳng thức cụsi ta cú
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A = 4 
1đ
Cõu 2
Ta có A2 = 8+2
	 A2 = 8+2
	 A2 = 8+2
 A2 = 8+2-2 = 6 + 2 =(+1)2 
Do A > 0 nên A = +1.
1đ
P = =
= 
Vậy P = 
1đ
Xét A = a > 0
 ta có 
 = 
Vì a > 0, A> 0 nên A= 
áp dụng ta có 
C = 
= 
1đ
Cõu 3
a.Pt 
.
1đ
b.Đặt X = thì 
Ta có phương trình: X - = 3
 Û X2 - 2X - 3 = 0
 Û X = -1 hoặc X = 3
Với X = -1 ta có = -1 : vô nghiệm
Với X = 3 ta có = 3 có hai nghiệm
 x = 6; x = -3
Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 6; x = -3
1đ
c. Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm dương.
Điều kiện: 	 Ta cú 	 Nếu m = 1 phương trỡnh cú dạng 0 = -12 vụ nghiệm.	
Nếu phương trỡnh trở thành 	
Phương trỡnh cú nghiệm dương 	
Vậy thoả món yờu cầu bài toỏn khi .	.
1đ
d.Viết lại phương trỡnh dưới dạng : .
Vế trỏi của phương trỡnh khụng nhỏ hơn 6, cũn vế phải khụng lớn hơn 6. Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi cả hai vế đều bằng 6, suy ra x = -1.
1đ
e. Điều kiện x ≥ 1. Phương trỡnh biến đổi thành :
* Nếu x > 2 thỡ : , khụng thuộc khoảng đang xột.
* Nếu 1 ≤ x ≤ 2 thỡ : . Vụ số nghiệm 1 ≤ x ≤ 2
Kết luận : 1 ≤ x ≤ 2.
1đ
Cõu 4
a.Viết phương trình về dạng (x+1)(y+1)=10
Phân tích 10	= 1.10=2.5=(-1).(-10)=(-2).(-5)
	=10.1=5.2= (-10).(-1)=(-5).(-2)
Do x, y nguyên ị hệ có 8 nghiệm
; 	 ; 	; 	; 
; 	; 	;	
1đ
b. Bất kỳ số tự nhiờn nào cũng cú một trong cỏc dạng sau:
5k ; 5k + 1 ; 5k + 2 ; 5k + 3 ; 5k + 4 Với 
Nếu b= 5k +1 thỡ b + 14 = 5k +155 khụng nguyờn tố ( loại)
Nếu b= 5k +2 thỡ b + 8 = 5k +105 khụng nguyờn tố ( loại)
Nếu b= 5k +3 thỡ b + 12 = 5k +155 khụng nguyờn tố ( loại)
Nếu b= 5k +4 thỡ b + 6 = 5k +105 khụng nguyờn tố ( loại)
Do đú b=5k mà b nguyờn tố nờn b=5
Do đú b + 6 = 11
b + 8 = 13
 b + 12 = 17
 b +14 = 19 
đều là cỏc số nguyờn tốVậy b=5
1đ
c. P nguyờn tố lớn hơn 3 nờn p cú dạng 6n + 1 hoặc 6n -1
N N và n 1
Nếu p =6n + 1 thỡ 2p + 1 = 12n +3 3 trỏi giả thiết là số nguyờn tố.
Nờn p =6n-1
Ta cú 2p+1 = 12n -1 và
4p+1=24n -3 3
 Vậy 4p +1 là hơp số
1đ
d. Gọi tớch tớch của bốn số tự nhiờn liờn tiếp thờm 1 là:
n.(n + 1)(n+2)(n+3)+1 
Ta cú: n.(n + 1)(n+2)(n+3)+1 
 = (n2 + 3n)(n2 +3n +2) +1
=(n2 + 3n)2 + 2 (n2 + 3n) + 1
= (n2 + 3n +1)2
 ĐPCM
1đ
Cõu 5
Cỏch 1.Gọi . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacụpxki :
 (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số khụng õm : (2)
Nhõn từng vế (1) với (2) : 
 Cỏch 2 Đặt suy ra a.b.c=1
Ta cú:
a2 + b2 + c2 ³ a + b +c với mọi số a, b, c.
Û 2(a2 + b2 + c2 )³ 2(a + b + c)
Û 2a2 + 2b2 + 2c2 -2a -2b – 2c ³ 0
Û (a-1)2 + (a-1)2 + (b-1)2 + a2 + b2 + c2 -3³ 0 
mà 
Bất đẳng thức cuối luụn đỳng (Do (a-1)2 ³ 0 ) nờn cú đpcm
1đ
Cõu 6
	a) (1,5 điểm)
	* Ta cú = 900 (gt)
	Nờn bốn điểm B, F, H, D cựng nằm trờn một đường trũn đường kớnh BD.
	* ~ (g.g) nờn suy ra EB.EH = ED.EF.
1.5đ
b) 
	* ABHD là hỡnh chữ nhật (vỡ cú 3 gúc vuụng)
	 DH= AB= 10 cm, HM= DM- DH= 5 cm.
	Trong tam giỏc vuụng BMH cú BM2= BH2+ HM2.
	 BH= = 12 cm.
	Mà AD= BH ( do ABDH là hỡnh chữ nhật).
	Vậy AD= 12 cm.
	* ~ (g.g) nờn 
	 DF= = 13,85 (cm)
Trong tam giỏc vuụng BDF cú BD2= BF2+ DF2.
	 BF= = 7,23 cm.
2 đ
	c) 
	* Ta cú = 900 (gt) và BD cố định nờn F di chuyển trờn đường trũn đường kớnh BD.
	Giới hạn: - Khi M C thỡ F F’ (F’ BC với DF’ BC).
	 - Khi M H thỡ F H.
	Vậy F di chuyển trờn cung nhỏ F’H của đường trũn đường kớnh BD. 
1.5đ
Cõu 7
2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 ị M ≥ 1998.
Dấu “ = “ xảy ra khi cú đồng thời : 
 Vậy min M = 1998 Û a = b = 1.
1đ