Đề thi tuyển chọn câu lạc bộ môn học em yêu thích cấp quận môn: Toán học

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 QUẬN LONG BIÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN CHỌN CÂU LẠC BỘ 
MÔN HỌC EM YÊU THÍCH CẤP QUẬN
Môn: TOÁN
Năm học 2014-2015
Ngày thi: 27/05/2014
Thời gian làm bài: 90 phút
Bài 1 (5 điểm) Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị biểu thức A khi x thỏa mãn: 
c) Tìm giá trị của x để A < 0.
d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị là một số nguyên.
Bài 2 (3 điểm) 
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3(x2 - 7 )2 - 36x
b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh: A= n3(n2 - 7 )2 - 36n 210 với mọi số tự nhiên n.
Bài 3 (3 điểm) 
 Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ cùng ngày và đi với vận tốc theo thứ tự lần lượt là 10km/giờ, 30km/giờ và 50km/giờ. Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy ?
Bài 4 (6 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
 a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và 
 b) Cho và . Tính ?
 c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi.
 d) Kẻ. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh .
Bài 5: (3điểm).
Chứng minh rằng số n2 +2014 với n nguyên dương không là số chính phương.
Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5. 
 Chứng minh rằng: a2 + b2 1 + ab
--------- Hết ---------
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. 
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
HƯỚNG DẪN CHẤM 
Bài
Ý
Nội dung
Điểm
1
5 đ
a)
ĐKXĐ : x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 1/2 .
Rút gọn được A=.
0.5
1.5
b
 Từ 
Tìm được x=1; x=0 (loại x=0 do không thỏa mãn ĐK)
Thay x=1 vào biểu thức . tính được A= 0.
0.5
0.5
c
A< 0 suy luận được x<1 và : x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 1/2 .
1.0
d
Lập luận để khẳng định được x-1 là bội của 3 suy ra , x = 3n+1 (n ÎZ)
1.0
2
3 đ
a)
Phân tích được x3(x2 - 7 )2 – 36x 
 = x(x + 1 )( x - 1 ) (x - 3 )(x + 2 ) ( x - 2 )( x + 3 )
1.5 
b)
 Theo phần a ta có : 
A = n3(n2 - 7)2 - 36n 
 = n(n + 1)(n - 1) (n - 3)(n + 2)(n - 2)(n + 3)
Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp. Trong 7 số nguyên liên tiếp có:
- Một bội của 2 nên A chia hết cho 2.
- Một bội của 3nên A chia hết cho 3. 
- Một bội của 5 nên A chia hết cho 5.
- Một bội của 7 nên A chia hết cho 7. 
Mà 2; 3; 5; 7 đôi một nguyên tố cùng nhau nên: A (2, 3, 5, 7)
Hay A 210.
0.75
0.75
3
3 đ
Gọi thời gian ô tô đi đến vị trí cách đều xe đạp và xe máy là x(h) điều kiện x > 0
=> Thời gian xe đạp đi là x + 2 (h)
 Thời gian xe máy đi là x + 1 (h)
=> Quãng đường ô tô đi là 50x (km)
 Quãng đường xe đạp đi là 10(x + 2) (km)
 Quãng đường xe máy đi là 30(x + 1) (km)
Vì đến 10 giờ thì xe máy đã vượt trước xe đạp => ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy khi x nghiệm đúng phương trình:
 50x – 10(x + 2) = 30(x + 1) – 50x
 x = (h) = 50 phút (TMĐK)
Vậy đến 10h50 phút thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy .
0,25
0,75
0,5
0,5
0,5
0,5
4
6đ
Hình vẽ:
0,5
a
* Chứng minh EA.EB = ED.EC	
- Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg)	
- Từ đó suy ra 	
* Chứng minh 	
- Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc)	
- Suy ra 
0,5
0,5
0,5
0,5
b
- Từ = 120o = 60o = 30o	
- Xét EDB vuông tại D có = 30o
	 ED = EB 	
- Lý luận cho từ đó SECB = 144 cm2	
0.5
0.5
c
- Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 
- Chứng minh CM.CA = CI.BC	
- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi	
Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2
0.25
0.25
0.5
d
- Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 	
- Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc)
0,25
0,25
0,5
5
3đ
a
Nếu n2+2014 là số chính phương với n nguyên dương thì n2+2014 =k2Þ k2 – n2 = 2014
Þ (k – n)(k + n) = 2014 (*)
Vậy (k + n) – (k – n) = 2n là số chẵn nên k và n phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 là chẵn
Nên (k – n), (k + n) đều chia hết cho 2 hay (k – n)(k + n) 4
Mà 2014 không chia hết cho 4
Suy ra đẳng thức (*) không thể xảy ra.
Vậy không có số nguyên dương n nào để số n2 + 2014 là số chính phương
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
b
Với 2 số a, b dương:
0.5
0.5
 Xét: a2 + b2 – ab 1
(a + b)(a2 + b2 – ab) (a + b) ( vì a + b > 0)
a3 + b3 a + b
(a3 + b3)(a3 + b3) (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 )
 a6 + 2a3b3 + b6 a6 + ab5 + a5b + b6
2a3b3 ab5 + a5b
ab(a4 – 2a2b2 + b4) 0
 đúng a, b > 0 .
Vậy: với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5
0,5
0,5
0,25
0,25
Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.