Đề thi toán quốc tế giữa các thành phố lần thứ 37 khối trung học cơ sở, kỳ thi cấp độ O, mùa thu 2015

KỲ THI TOÁN QUỐC TẾ GIỮA CÁC THÀNH PHỐ LẦN THỨ 37
Khối Trung học Cơ sở, Kỳ thi cấp độ O, Mùa thu 2015
Hà Nội, ngày 11/10/2015
(Kết quả được tính bằng tổng điểm của ba bài có điểm cao nhất, điểm của bài có nhiều
ý bằng tổng điểm của các ý thành phần.)
điểm đề bài
4
1. Điều khẳng định sau đây đúng hay sai: Tất cả mọi số nguyên dương đều
có thể nhân với một trong các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 hoặc 5 để số nhận
được có biểu diễn thập phân bắt đầu bằng chữ số 1?
4
2. Một hình chữ nhật được chia thành các tam giác vuông không cân và
bằng nhau và không giao nhau (nghĩa là hai tam giác bất kì hoặc rời
nhau, hoặc điểm chung nhau phải là đỉnh hoặc nằm trên cạnh). Hỏi có
phải trong mọi cách phân chia như vậy đều chứa một hình chữ nhật ghép
bởi đúng hai tam giác?
5
3. Ba người chơi trò chơi Oẳn tù tì. Mỗi lượt, mỗi người chơi ra một trong
ba loại: đấm, lá hoặc kéo. Biết rằng người ra đấm thắng người ra kéo,
người ra kéo thắng người ra lá và người ra lá thắng người ra đấm. Nếu
trong một vòng, chỉ có đúng hai trong ba loại đấm, lá hoặc kéo được ra
thì mỗi người thắng cuộc được thêm một điểm. Trong các trường hợp
khác, không ai được thêm điểm. Ví dụ: nếu ba người ra đấm, đấm, kéo
thì hai người đầu mỗi người được thêm một điểm; nếu ba người ra đấm,
kéo, kéo thì chỉ có người đầu tiên được thêm một điểm; còn nếu ba người
ra đấm, kéo, lá hoặc đấm, đấm, đấm thì không ai được thêm điểm. Sau
một vài vòng, ba người chơi nhận thấy tổng cộng mỗi loại đấm, lá và kéo
đã được ra một số lần bằng nhau. Chứng minh rằng tại thời điểm đó,
tổng số điểm của ba người chơi là một số chia hết cho 3.
5
4. Trong tam giác vuông ABC (∠C = 90◦), các điểm K, L và M lần lượt
nằm trên các cạnh AC, BC và AB sao cho AK = BL = a, KM = LM =
b và ∠KML = 90◦. Chứng minh rằng a = b.
5. Trong một vương quốc có 100 thành phố. Giữa hai thành phố bất kỳ có
một đường bay thẳng (theo cả hai chiều). Giá vé của mỗi chuyến bay
là một số dương (không nhất thiết phải nguyên) đồng tiền vàng. Thêm
vào đó giá vé chiều đi và chiều về giữa hai thành phố là như nhau. Biết
rằng, giá vé trung bình của tất cả các đường bay là 1 đồng tiền vàng. Một
khách du lịch muốn đi thăm m thành phố bất kì bằng m chuyến bay, bắt
đầu và kết thúc từ thành phố anh ta sống (là một trong m thành phố)
nhưng chỉ tiêu tối đa là m đồng tiền vàng. Hỏi người khách du lịch có thể
luôn thực hiện được kế hoạch của mình không nếu
3 a) m = 99;
3 b) m = 100?
KỲ THI TOÁN QUỐC TẾ GIỮA CÁC THÀNH PHỐ LẦN THỨ 37
Khối Trung học Phổ thông, Kỳ thi cấp độ O, Mùa thu 2015
Hà Nội, ngày 11/10/2015
(Kết quả được tính bằng tổng điểm của ba bài có điểm cao nhất, điểm của bài có nhiều
ý bằng tổng điểm của các ý thành phần.)
điểm đề bài
3
1. Cho p là một số nguyên tố. Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho
pn là bội của p+ n?
4
2. Cho ABC và ABD là hai tam giác vuông có chung cạnh huyền AB (hai
điểmD và C nằm cùng phía so với đường thẳng AB). Biết rằng AC = BC
và DK là phân giác của góc ADB. Chứng minh rằng tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ACK nằm trên đường thẳng AD.
4
3. Ba người chơi trò chơi Oẳn tù tì. Mỗi lượt, mỗi người chơi ra một trong
ba loại: đấm, lá hoặc kéo. Biết rằng người ra đấm thắng người ra kéo,
người ra kéo thắng người ra lá và người ra lá thắng người ra đấm. Nếu
trong một vòng, chỉ có đúng hai trong ba loại đấm, lá hoặc kéo được ra
thì mỗi người thắng cuộc được thêm một điểm. Trong các trường hợp
khác, không ai được thêm điểm. Ví dụ: nếu ba người ra đấm, đấm, kéo
thì hai người đầu mỗi người được thêm một điểm; nếu ba người ra đấm,
kéo, kéo thì chỉ có người đầu tiên được thêm một điểm; còn nếu ba người
ra đấm, kéo, lá hoặc đấm, đấm, đấm thì không ai được thêm điểm. Sau
một vài vòng, ba người chơi nhận thấy tổng cộng mỗi loại đấm, lá và kéo
đã được ra một số lần bằng nhau. Chứng minh rằng tại thời điểm đó,
tổng số điểm của ba người chơi là một số chia hết cho 3.
4. Trong một vương quốc có 100 thành phố. Giữa hai thành phố bất kỳ có
một đường bay thẳng (theo cả hai chiều). Giá vé của mỗi chuyến bay
là một số dương (không nhất thiết phải nguyên) đồng tiền vàng. Thêm
vào đó giá vé chiều đi và chiều về giữa hai thành phố là như nhau. Biết
rằng, giá vé trung bình của tất cả các đường bay là 1 đồng tiền vàng. Một
khách du lịch muốn đi thăm m thành phố bất kì bằng m chuyến bay, bắt
đầu và kết thúc từ thành phố anh ta sống (là một trong m thành phố)
nhưng chỉ tiêu tối đa là m đồng tiền vàng. Hỏi người khách du lịch có thể
luôn thực hiện được kế hoạch của mình không nếu
2 a) m = 99;
2 b) m = 100?
5
5. Cho trước một dãy cấp số cộng vô hạn với công sai dương. Một dãy mới
được xây dựng theo quy tắc sau: số hạng đầu tiên của dãy mới là tổng
của một vài số hạng đầu tiên của dãy ban đầu, số hạng thứ hai của dãy
mới là tổng của một vài số hạng tiếp theo của dãy ban đầu và tiếp tục
như vậy. Liệu có thể xảy ra trường hợp dãy số mới nhận được là một cấp
số nhân hay không?