Đề thi thử đại học lần thứ tư môn Toán

Cõu I: (2,0 điểm) Cho hàm số: 3 2y = x 3mx + 2 (1), m là tham số 
1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. 
2. Tỡm m để đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) tạo với cỏc trục tọa độ 
một tam giỏc cú diện tớch bằng 4. 
Cõu II: (2,0 điểm) 
1. Giải phương trỡnh: 2 23cot 2 2 sin (2 3 2) cosx x x   
2. Giải phương trỡnh: 2
7
3 6 3
3
x
x x

   
Cõu III: (1,0 điểm) Tớnh tớch phõn 
1
2
1
3
3 9 1
x
dx
x x 
 
Cõu IV: (1,0 điểm) Cho hỡnh chúp SABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi cạnh 2a, SA = a, 
SB= a 3 ,  0BAD = 60 và mp(SAB) vuụng gúc với mặt đỏy. Gọi M, N là trung điểm của AB, 
BC. Tớnh thể tớch tứ diện NSDC và tớnh cosin của gúc giữa hai đường thẳng SM và DN. 
Cõu V: (1,0 điểm) Xột cỏc số thực dương x, y, z thỏa món x + y + z = 3. Tỡm giỏ trị nhỏ 
nhất của biểu thức: 
3 3 3
x y z
P x y z
y z x
     
                   
Cõu VI (2,0 điểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú trung điểm cạnh BC là M(3,2), 
trọng tõm và tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC lần lượt là G(
2 2
,
3 3
) và I(1,-2). Xỏc 
định tọa độ đỉnh C. 
2. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 
1 1 1
:
2 1 1
x y z
d
  
  , điểm 
A (1,4,2) và mặt phẳng (P): 5x – y + 3z – 7 = 0. Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua A, 
nằm trong mp(P) biết rằng khoảng cỏch giữa d và  bằng 2 3 . 
Cõu VII (1,0 điểm) Cho hai số phức 1 2z , z thỏa món 1i.z 2 0,5  và 2 1z = i.z . Tỡm giỏ trị 
nhỏ nhất của 1 2z z 
------------------------Hết---------------------- 
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm 
Họ và tờn:..SBD: 
TRƯỜNG THPT 
CHUYấN 
NGUYỄN HUỆ 
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ NĂM HỌC 2011 – 2012 
ĐỀ THI MễN: TOÁN 
KHỐI A,B 
Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian giao đề 
www.MATHVN.com - Toỏn Học Việt Nam
www.MATHVN.com
TRƯỜNG THPT 
CHUYấN 
NGUYỄN HUỆ 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ 
 NĂM HỌC 2011 – 2012 
ĐỀ THI MễN: TOÁN KHỐI A, B 
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 
m = 1  3 2y = x 3x + 2 
a) TXĐ: R 
b) Sự biến thiờn: 
*) Giới hạn: lim ; lim
x x
y y
 
    
0,25 
*) Chiều biến thiờn: 
2 x = 0
x = 2
y' = 3x 6x ; y' = 0 



  
Hàm số đồng biến trờn mỗi khoảng (- ; 0) và (2; + ), hàm số nghịch biến trờn (0; 2) 
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ= 2; hàm số đạt tiểu tại x = 2, yCT= - 2 
0,25 
BBT x - 0 2 + 
 f’(x) + 0 - 0 + 
 f(x) 2 + 
- -2 
0,25 
I-1 
(1điểm
) 
c) Đồ thị: 
5
4
2
-2
-4
O 2 
y 
x
0,25 
3 2y = x 3mx + 2  2y' = 3x 6mx ; 
x = 0
x = 2m
y' = 0 



 
Đồ thị hàm số cú 2 điểm cực trị  y’ = 0 cú 2 nghiệm phõn biệt  m  0 
0,25 
I-2 
(1điểm
) 
Với m  0 thỡ đồ thị hàm số (1) cú tọa độ 2 điểm cực trị là: A(0; 2) và 
B(2m;-4m3+2) 
Phương trỡnh đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B là: 
2
3
x y 2
 = 2m x + y 2 = 0
2m - 4m

  
0,25 
www.MATHVN.com - Toỏn Học Việt Nam
www.MATHVN.com
AB cắt Ox tại 
2
1
C ;0
m
 
 
 
, cắt Oy tại A(0; 2) 
Đường thẳng qua 2 điểm cực trị tạo với cỏc trục tọa độ tam giỏc OAC vuụng tại O ta 
cú: OAC 2 2
1 1 1 1
S = OA.OC = .2. = 
2 2 m m
0,25 
Yờu cầu bài toỏn thỏa món 
2
4 
1 1
 = m
 m 2
 = ±  (thỏa món m  0). 
Vậy 
1
m
2
 = ± 
0,25 
Điều kiện : x  k 
Phương trỡnh tương đương: 3cosx( 2
sin
cos
2

x
x
) = 2(cosx - 2 sin2x) 
0,25 
  (cosx - 2 sin2x)(3cosx – 2sin2x) = 0  




02cos3cos2
02coscos2
2
2
xx
xx
 0,25 
co s 2 ( )
2
cos
2
cos 2 ( )
1
cos
2
x loa i
x
x lo a i
x
  



 
 



 0,25 
II-1 
(1 
điểm) 
Kết hợp với đ/k suy ra pt có nghiệm: x = 

2
4
k & x = 

2
3
k 0,25 
2 27 1 13 6 3 ( 1) 2 ( 1) 2
3 3 3
x
x x x x

         , 7x   
Đặt 
1
1
( 1) 2 ( 0)
3
u x
v x v
 


   

 ta cú hệ phương trỡnh: 
2
2
1
2
3
1
2
3
u v
v u

 

  

0,25 
 
2 2 2
22 2
( )[3( ) 1] 03 6 3( ) 0
3 63 6 3 6
u v u vu v u v u v
u vv u u v
           
   
       
 
2
0
3 6
u v
u v
 

 
 hoặc 
2
3( ) 1 0
3 6
u v
u v
  

 
0,25 
2 2
1 73
(loại)
0 6
3 6 3 6 0 1 73
6
u
u v u v
u v u u
u
 
   
  
       


2
2
1 1 69
3( ) 1 0 3 6
173 6 1 693 0 (loại)
3 6
v u u
u v
u v
u u u
  
         
          
0,25 
II-2 
(1 
điểm) 
+ Với 
1 3 7 1 73 73 5
1
6 6 6
u x
  
     . 0,25 
www.MATHVN.com - Toỏn Học Việt Nam
www.MATHVN.com
+ Với 
1 69 1 69 69 7
1
6 6 6
u x
     
     . 
1 1 1 1
2 2 2
2
1 1 1 1
3 3 3 3
(3 9 1) 3 9 1
3 9 1
x
I dx x x x dx x dx x x dx
x x
      
 
    0,25 
1
12 3
11
31
3
26
3
27
I x dx x   0,25 
11 1 3
2 2 2 2 2
2
11 1
33 3
1 1 16 2
9 1 9 1 (9 1) (9 1)
18 27 27
I x x dx x d x x         0,25 
III 
(1 
điểm) 
 Vậy 
26 16 2
27
I

 0,25 
Từ giả thiết cú AB = 2a, SA = a, 
SB = 3 , tam giỏc ASB vuụng tại S suy ra 
2
AB
SM a  do đú tam giỏc SAM đều. 
Gọi H là trung điểm AM thỡ 
SHAB. Mặt khỏc (SAB) (ABCD) nờn 
suy ra ( )SH ABCD 
N
M
B
A
S
C
D
H
Q
K
0,25 
2 31 1 1 1 3 1 4 3
. . . .
3 3 2 3 2 2 4 4
NSDC SNDC DNC BDC
a a a
V V SH S SH S      0,25 
Gọi Q là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 4 AQ khi đú MQ//ND nờn 
 ( , ) ( , )SM DN SM QM . Gọi K là trung điểm MQ suy ra HK//AD nờn HKMQ 
Mà SH (ABCD), HKMK suy ra SKMQ suy ra   ( , ) ( , )SM DN SM QM SMK  
0,25 
IV 
(1 
điểm) 
Trong tam giỏc vuụng SMK: 
1 1 1
3
32 4 4os
4
MQ DN a
MK
c SMK
SM a a a
     0,25 
V 
(1 điểm) 
Đặt x = 2 2 2, ,a y b z c  . Do 2 2 23 3x y z suy ra a b c      . 
Ta cần tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 
3 3 3
2 2 23 3 3
a b c
P
b c a
  
  
. 
Áp dụng Bất đẳng thức Trung bỡnh cộng – trung bỡnh nhõn cú: 
3 3 2 6 2
3
2 2
3 3
3
16 64 42 3 2 3
a a b a a
b b

   
 
(1) 
3 3 2 6 2
3
2 2
3 3
3
16 64 42 3 2 3
b b c c c
c c

   
 
 (2) 
3 3 2 6 2
3
2 2
3 3
3
16 64 42 3 2 3
c c a c c
a a

   
 
(3) 
0,5 
www.MATHVN.com - Toỏn Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Cộng theo vế ta được: 
  
2 2 2
2 2 29 3
16 4
a b c
P a b c
  
    (4) 
0,25 
Vỡ a2+b2+c2=3 
Từ (4)
3
2
P  vậy giỏ trị nhỏ nhất 
3
2
P  khi a = b = c =1  x = y = z = 1 
0,25 
7 4
(2;4), ;
3 3
IM GM
 
   
 
 
Gọi A(xA; yA). Cú 2AG GM
 
 A(-4; -2). 
0,25 
Đường thẳng BC đi qua M nhận vec tơ IM

 làm vec tơ phỏp tuyến nờn cú PT: 
2(x - 3) + 4(y - 2) = 0  x + 2y - 7 = 0. 
0,25 
Gọi C(x; y). Cú C  BC  x + 2y - 7 = 0. 
Mặt khỏc IC = IA  2 2 2 2( 1) ( 2) 25 ( 1) ( 2) 25x y x y         . 
0,25 VI- 1 
(1 điểm) 
 Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trỡnh: 
2 2
2 7 0
( 1) ( 2) 25
x y
x y
  

   
Giải hệ phương trỡnh ta tỡm được 
5
1
x
y



 và 
1
3
x
y



. 
Vậy cú 2 điểm C thỏa món là C(5; 1) và C(1; 3). 
0,25 
Gọi (Q) là mặt phẳng qua d và cỏch A(1,4,2) một khoảng 2 3 . 
(Q) qua N(1, -1, 1) thuộc d nờn cú phương trỡnh: a(x-1) + b(y+1) +c(z-1) = 0 (1) 
Do (Q) qua N’(1, -1, 1) thuộc d nờn 2a + b + c =0 hay c = - 2a – 2b (2) 
0,25 
2 2 2 2
( ,( )) 2 2 2
2 2 2
(1 1) (4 1) (2 1)
2 3 2 3 (5 ) 12( )
12 13 11 10 0 (3)
A Q
a b c
d b c a b c
a b c
a b c bc
    
       
 
    
Thay (2) vào (3) cú 2 27 8 0a ab b   . Chọn b = 1 được a = -1 hoặc a = 
1
7

0,25 
 Với b = 1 , a = -1 thỡ (Q) cú phương trỡnh: x – y – z – 1 = 0 
Đường thẳng  qua A và song song với giao tuyến của (P) và (Q) cú VTCP 
1 1 1 1 1 1
, , 4(1,2, 1)
1 3 3 5 5 1
u
     
    
  

 nờn  cú phương trỡnh: 
1 4 2
1 2 1
x y z  
 

0,25 
VI-2 
(1 điểm) 
Với b = 1 , a = 
1
7

 thỡ (Q) cú phương trỡnh: x –7y +5z – 13 = 0 
Đường thẳng  qua A và song song với giao tuyến của (P) và (Q) cú VTCP 
( 8,11,17)u 

 nờn  cú phương trỡnh: 
1 4 2
8 11 17
x y z  
 

0,25 
Đặt 1 1 1 1 1( , )z x iy x y R   
Khi đú điểm M 1 1( , )x y biểu diễn 1z , 
2 2
1 1 1 1 1i.z 2 0,5 i.x 2 0,5 ( 2) 0,25y x y          
Suy ra tập hợp cỏc điểm M biểu diễn 1z là đường trũn (C1) tõm O1(0, 2 ) bỏn kớnh 
R1=0,5. 
0,25 
VII. 
(1 điểm) 
2 1 1 1z iz y x i    Suy ra N (- y1 , x1) biểu diễn 2z 
0,25 
www.MATHVN.com - Toỏn Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Ta cần tỡm M thuộc (C1) để 1 2z z MN  nhỏ nhất 
Để ý rằng 1 1 1 1( , ) ( , )OM x y ON y x 
 
 và OM = ON nờn MN = 2 .OM 0,25 
MN đạt giỏ trị nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất . Đường thẳng OO1 đường trũn (C1) tại 
M1(0,
1
2
2
 ) và M2(0, 
1
2
2
 ). Dễ thấy MN nhỏ nhất bằng 
1
2
2
 khi M trựng 
M1(0,
1
2
2
 ) tức là 1
1
( 2 )
2
z i  
0,25 
www.MATHVN.com - Toỏn Học Việt Nam
www.MATHVN.com