Đề thi thông tin chọn học sinh giỏi lớp 8 năm học 2008 – 2009 môn: Toán

TRƯỜNG THCS NAM ĐÀ 
 Đề thi thông tin chọn học sinh giỏi lớp 8
 	 năm học 2008 – 2009
 Họ tên : ...........................................	
 Lớp :...	Môn: Toán 
 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 2,0 điểm)
 Giải phương trình : x(x+2)(x2+2x+5) = 6 
Câu 2 : ( 4,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức : 
A = x8 – 31x7 + 31x6 – 31x5 +31x4 – 31x3 + 31x2 – 31x + 27 với x = 30
b) Cho a - b = 4 tính giá trị của biểu thức B = a3 – 12ab - b3
Câu 3 : ( 2,0 điểm)
Rút gọn phân thức : 
Câu 4 : ( 3,5 điểm)
 Một người đi một nữa quãng đường tử A đến B với vận tốc 15km/h , và đi phần còn lại với vận tốc 30km/h . Tính vận tốc trung bình của người đó trên toàn bộ quãng đường AB . 
Câu 5 : ( 2,0 điểm)
Chứng minh rằng :
a) S với S là diện tích của tam giác có độ dài hai cạnh bằng a , b .
Câu 6 :( 6,5 điểm)
Cho tam giác IKP cân tại A có KP = 4 cm , M là trung điểm của KP lấy D, E thứ tự thuộc các cạnh IK , IP sao cho .
a) Chứng minh rằng tích KD . PE không đổi .
b) Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc KDE .
c) Tính chu vi IED nếu IKP là tam giác đều .
------------- -------------
( Giám thị không giải thích gì thêm ) 
hướng dẫn chấm thi môn toán
kỳ thi thông tin chọn học sinh giỏi lớp 8 THCS năm học 2008-2009
Câu 1 (4,0 điểm)
Tóm tắt lời giải
Điểm
a) Ta có A = x6 – 19x5 + 19x4 – 19x3 +19x2 – 19x + 25
 = x5 ( x – 18 ) – x4( x- 18 ) + x3 ( x-18) – x2( x-18) + x(x- 18) - ( x – 18 ) + 7 
Do đó với x = 18 thì giá trị của biểu thức A = 7 .
b) Với x+y = 1 ta có : B = ( x3 + y3 )+ 3xy = ( x +y ) ( x2 - xy +y2) + 3xy 
 = x2 +2xy +y2
 = ( x+y )2 = 1
1,00
1,00
1,00
1,00
Câu 2 (4,0 điểm)
Top of Form
Tóm tắt lời giải
Điểm
a) ta có = =
 = = = 
 = 
b) Giải phương trình : 
(x2-x+1)(x2-x+2) = 12 (1) 
Đặt t = x2-x+1 thay vào phương trình (1) ta được pt :
 t ( t+1 ) = 12 
 t2 + t – 12 = 0 ( t2 - 3t ) + (4t – 12) = 0 t( t - 3) + 4(t – 3) = 0 
(t - 3) (t+ 4) = 0 t = 3 hoặc t = - 4
- Với t = 3 => x2-x+1 = 3 x2-x-2 = 0 x2-2x + x -2 = 0 
 x(x-2) + (x -2 ) = 0 (x-2) (x +1 ) = 0 x = 2 hoặc x = - 1
- Với t = - 4 => x2-x+1 = - 4 x2-x + 5 = 0 ( x- ) 2 + = 0 phương trình này vô nghiệm vì ( x- ) 2 + > 0 với mọi x .
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là : x = 2 , x = -1
1,00
0,50
0.50
0.50
0.75
0.25
0.25
0.25
Câu 3 : ( 4,5 điểm )
Gọi vận tốc mà ô tô dự định đi từ A đến B là : x ( điều kiện : x(km/h ) , x > 6 ).
Ta có : Vận tốc ô tô đi nữa đầu quãng đường là : x+10 ( km/h )
 Vận tốc ô tô đi nữa sau quãng đường là : x – 6 (km/h )
 Thời gian ô tô đi nữa đầu quãng đường là : (h)
 Thời gian ô tô đi nữa sau quãng đường là : (h)
 Thời gian ô tô đi quãng đường từ A đến B là : (h)
Ta có phương trình : + = 
+ = 
=> x2 – 6x + x2 + 10x = 2x2 + 8x – 120 x2 – 6x + x2 + 10x - 2x2 - 8x = -120 
 4x = 120 x = 30 ( km/h )
Vậy thời gian ô tô dự định đi quãng đường AB là : = 2 ( giờ )
0.50
1.00
0.75
0.75
0.50
0.50
0.50
Câu 4 (3,5 điểm)
Tóm tắt lời giải
Điểm
	HS vẽ hình và ghi GT,KL đúng 	 
a) Ta có , mặt khác , mà nên .
Do đó BDM và CME đồng dạng ( gg ) .
=> => BD . CE = CM . BM = a . a = a2
Vậy tích BD . CE luôn không đổi .
b) BDM và CME đồng dạng còn suy ra : => 
 ( vì CM = BM ) 
Do đó DME và DBM đồng dạng => hay DM là tia phân giác của góc BDE .
c) Từ câu b suy ra DM là tia phân giác của góc BDE , EM là tia phân giác của góc CED . Kẻ MH DE , MI AB , MK AC . Ta có DH = DI , EH = EK , do đó chu vi AED bằng AI + AK = 2AK .
Ta lại có CK = , AC = 2a nên AK = 1,5a .
Vậy chu vi tam giác ADE bằng 3a .
0.5
0.50
0.50
0.50
0.50
0.50
0.50
Câu 5 : HS vẽ hình và ghi GT,KL đúng 
a) Gọi h là chiều cao tương ứng với cạnh a , ta có S = ah .
=> 4S = 2ah 2ab a2 + b2 .
Vậy S .
 Dấu bằng xảy ra ú h = b , a = b ú ABC vuông cân 
b) Theo câu a ta có : SABC ; SADC 
Mà S = SABC + SADC => S => S .
 Dấu bằng xảy ra ú ABC vuông cân ở B , ACD vuông cân ở D 
 ú ABCD là hình vuông . 
0.50
0.50
0.50
0.50
0.50
0.50
0.50
0.50
 Lưu ý : Nếu thí sinh làm theo cách khác đúng đầy đủ chính xác cũng được điểm tối đa