Đề thi ôlympic môn Toán lớp 8 - Trường THCS Mỹ Hưng

Trường THCS Mỹ Hưng 
ĐỀ THI ễLYMPIC MễN TOÁN LỚP 8
 (120 Phỳt)
 (năm học 2013 – 2014)
Câu 1 : (6 điểm)
a) Giải phương trình : 
b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
 A = 
Câu 2 : (5 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3.
 b) Tìm số nguyên n dể n5 + 1 chia hết cho n3 + 1
Cõu 3. (3 điểm )
a. Cho 3 số dương a, b, c cú tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 
b. Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 
Tinh: a2011 + b2011
Bài 4 : ( 6 điểm )
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên AC. Từ C vẽ đờng thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O. Chứng minh rằng :
a ) OA.OB = OC.OH
b ) Góc OHA có số đo không đổi
c ) Tổng BM.BH + CM.CA không đổi.
Đỏp ỏn – hướng dẫn chấm 
Câu 1 : (6 đ)
a) (3 đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
 x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
 x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;	 0,5
 ĐKXĐ : 	 0,5
 Phương trình trở thành : 
 	 1,75
	18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
	(x+13)(x-2)=0
 Từ đó tìm được x=-13; x=2; ( 0,25đ)
b) (3 đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 
 Từ đó suy ra a= ; ( 1,5đ ) 
 Thay vào ta được A= ( 0,75 đ)
 Từ đó suy ra A hay A ( 0,25đ )
Câu 2 : (2đ)
a) Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a+b chia hết cho 3 .	 0,25
 Ta có a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)=
 =(a+b)	 0,5	
 Vì a+b chia hết cho 3 nên (a+b)2-3ab chia hết cho 3 ;
 Do vậy (a+b) chia hết cho 9
b ) ( 3đ ) n5 + 1 n3 + 1n5 + n2 – n2 + 1 n3 + 1
n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) n3 + 1
(n – 1)(n + 1) (n+1)(n2 – n + 1)
n – 1 n2 – n + 1
n(n – 1) n2 – n + 1
Hay n2 – n n2 – n + 1
(n2 – n + 1) – 1 n2 – n + 1
 1n2 – n + 1
Xét hai trường hợp:
+ n2 – n + 1 = 1 n2 – n = 0 n(n – 1) = 0 n = 0, n = 1 thử lại thấy t/m đề bài
+ n2 – n + 1 = - 1 n2 – n + 2 = 0 , không có giá trị của n thoả mãn
Cõu 3 
a. Từ: a + b + c = 1 	 ( 1đ )	
Dấu bằng xảy ra a = b = c = ( 0,5 đ )
b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 
(a+ b) – ab = 1
(a – 1).(b – 1) = 0
a = 1 hoặc b = 1 ( 1 đ ) 
Với a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoặc b = 0 (loại)
Với b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoặc a = 0 (loại)	 ( 0,5 đ ) 
Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2
Cõu 4 ( 6 đ ) 
C
K
B
O
A
H
M
a) BOH ~ COA (g-g) OA.OB = OC.OH ( 2 đ ) 
b) (1)
OHA và OBC có chung (2)
Từ (1) và (2) OHA ~ OBC (c.g.c)
 (không đổi) ( 2 đ )
c) Vẽ MK BC ; BKM ~ BHC (g.g) BM.BH = BK.BC (3)
CKM ~ CAB (g.g) CM.CA = BC.CK (4)
Cộng từng vế của (3) và (4) ta cú: BM.BH + CM.CA = BK.BC + BC.CK 
 = BC(BK + CK) = BC2 (không đổi). ( 2 đ )