Đề thi olympic môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017

ĐỀ THI OLIMPIC NĂM HỌC 2016 – 2017
MÔN: TOÁN – LỚP 8
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1. Cho biểu thức 
Rút gọn A.
Tìm x nguyên dương để A nguyên.
Câu 2. a) Giải phương trình: 
 b) Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn: và 
 Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba số a, b, c bằng 3.
Câu 3. a) Tìm cặp số (x;y) nguyên thỏa mãn: 
Cho x, y dương thỏa mãn: xy = 1.
Chứng minh 
Câu 4. Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O, lấy điểm M thuộc cạnh BC(M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng DC tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
Chứng minh OEM cân.
Chứng minh ME // BN.
Từ C kẻ CH BN (HBN). Chứng minh O, M, H thẳng hàng.
Câu 5. Cho a, b , c là ba số thực dương thỏa mãn 3a + 4b + 5c = 12 và biểu thức 
 . Chứng minh M 2.
-----------------------HẾT-----------------------------
Đáp án tham khảo:
Câu 1. Cho biểu thức 
Rút gọn A. ĐKXĐ: x2
=
Để A nguyên, thì nguyên hay nguyên, nên x – 2 phải là ước của 4 =>x. nguyên dương thỏa mãn
Câu 2. a) Giải phương trình: 
. Xét x = 0 không phải là nghiệm của phương trình.
. Xét x khác 0. Chia hai vế cho x2 ta được phương trình tương đương:
 đặt t = ta được phương trình t(t +1) = 6ó t2 +t – 6 = 0
Giải phương trình ẩn t => x.
Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn: và (1)
Từ gt ta có (2). 
Từ (1) và (2) suy ra 
 mà nên suy ra một trong ba số a, b, c phải bằng 3.
Câu 3. a) Tìm cặp số (x;y) nguyên thỏa mãn: 
 Phương trình tương đương
Do x, y nguyên nên ta có bảng
2y - 3
1
-1
4x + 2y + 3
-1
1
x
y
b)Cho x, y dương thỏa mãn: xy = 1.
Chứng minh 
HD: Điểm rơi x = y =1
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương 
Ta được . Dấu “=” khi và chỉ khi x = y.
Nên ta được 
Vậy . Dấu “=” khi và chỉ khi x = y = 1.
Câu 4. Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O, lấy điểm M thuộc cạnh BC(M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng DC tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
a)Chứng minh OEM cân.
Chứng minh BEO = tam giác CMO (c.g.c)
B
E
O
N
A
Suy ra OE = OM và góc BOE = góc COM nên EOM = 900
Nên tam giác MOE vuông cân
b)Chứng minh ME // BN.
Do AE // CN nên 
M
(vì BM = AE và MC= EB)
H
Nên EM // BN theo đl ta lét đảo
c) 
gọi H’ là giao điểm của OM và BN. 
D
C
Ta chứng minh H trùng với H’
Do EM // BH’ nên góc BH’M = góc EMO = 450
Nên tam giác BH’M đồng dạng tam giác OMc (gg)
 Suy ra
Do đó tam giác BMO đồng dạng với tam giác H’MC
Suy ra góc MH’C = góc OBM = 450, mà góc BH’M = 450
Nên góc BH’M + góc MH’C = 900 hay góc BH’C = 900 mà góc BHC = 900 
Do đó H trùng với H’.
Câu 5. Điểm rơi a = b =c = 1.
Cho a, b , c là ba số thực dương thỏa mãn 3a + 4b + 5c = 12 và biểu thức 
 . Chứng minh M 2.
Áp dụng BĐT cho các số dương ab, b, c ta được
 . Dấu “=” khi 
Tương tự ta được: 
Cộng vế theo vế ta được M
Dấu “=” khi a = b = c =1.