Đề thi Olympic môn Toán Lớp 7 - Năm học 2014-2015 (Có đáp án)

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN: TOÁN – LỚP 7.
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1. Tìm x , biết: 
Câu 2. 
Tìm a; b;c biết: và abc = 540.
Cho đa thức: P(x) = x8 – 2016x7 + 2016x6 – 2016x5 + +2016x2 – 2016x + 4030. Tính P(2015.)
Câu 3. 
Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa quảng đường thì ô tô tăng vận tốc lên 20 do đó đến B sớm hơn 10 phút. Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.
Câu 4. 
Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ tam giác BDA vuông cân tại A, tam giác CAE vuông cân tại A.
Chứng minh:
DC = BE; DC BE.
BD2 + CE2 = BC2 + DE2
Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC.
Câu 5. Cho 30 số tự nhiên, trong đó nếu có bốn số khác nhau thì chúng phải lập được thành một tỉ lệ thức. Chứng ming rằng trong 30 số đó có nhiều nhất 4 số khác nhau.
-------------------Hết------------------
Đ/á tham khảo:
Câu 1. Tìm x , biết: 
TH1: x – 2 = - 2 x = 0.
TH2: x – 2 = 2 x = 4.
 b) 
x = 2015 ; vì 
Câu 2. 
a) Tìm a; b; c biết: và abc = 540.
Ta có: = 
Suy ra: 
Cho đa thức: P(x) = x8 – 2016x7 + 2016x6 – 2016x5 + +2016x2 – 2016x + 4030. Tính P(2015.)
Giải: P(x) = x8 – 2016x7 + 2016x6 – 2016x5 + +2016x2 – 2016x + 4030
 =x8 – (2015+1)x7 + (2015+1)x6 – (2015+1)x5 + + (2015+1)x2 – (2015+1)x + 4030
 Thay x = 2015, ta được:
 P = x8 – (x+1)x7 + (x+1)x6 – (x+1)x5 + + (x+1)x2 – (x+1)x + 4030
 = x8 – x8 - x7 + x7 + x6 – x6 - x5 + + x3 + x2 – x2 - x + 4030
 = -2015+ 4023
 = 2008
Câu 3. 
Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa quảng đường thì ô tô tăng vận tốc lên 20 do đó đến B sớm hơn 10 phút. Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.
Giải: 
Gọi t1 (giờ) là thời gian ô tô đi hết nửa quảng đường đầu AB, t1> 0.
 t2 (giờ) là thời gian ô tô đi hết nửa quảng đường sau AB 
 v1 (km/h) là vận tốc ô tô đi hết nửa quảng đường đầu AB
 v2 (km/h) là vận tốc ô tô đi hết nửa quảng đường đầu AB.
 Theo bài ra, ta có: t1 = t2 +  ; 
Mà trên cùng một quảng đường, thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên ta có : 
Suy ra t2 =. Vậy thời gian ô tô đi từ A đến B là 2 giờ.
Câu 4. 
Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ tam giác BDA vuông cân tại A, tam giác CAE vuông cân tại A.
Chứng minh:
DC = BE; DC BE.
BD2 + CE2 = BC2 + DE2
Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC.
Giải: 
+), nên DC = BE.
Gọi giao điểm của BE và CD là I. 
E
I
H
K
D
C
B
A
N
M
 +) Xét tam giác CIE có =..
+) ÁP dụng định lí Pitago cho tam giác vuông BID ta có:
BI2 + DA2 = BD2 (1)
 +) Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông CIE ta có:
CI2 + EI2 = CE2 (2)
Cộng vế theo vế của (1), (2), ta được:
BD2 + CE2 = (BI2 + EI2)+ (DA2 + CI2) 
 = DE2 + BC2.
 Kẻ CM và BN lần lượt vuông góc với KH
(M, N KH).
- Ta có: ABN = HAD ( Cùng phụ với BAN)
Nên: ABN = ADH (c.h-g.n)
Suy ra: BN = AH.(3)
- Tương tự, ta có: AMC = AHE (c.h-g.n)
Suy ra: CM = AH.(4)
Từ (3), (4) suy ra BN = CM.
- Tam giác BNK = CMN(c.h-g.n)
Suy ra BK = CK hay k là trung điểm của BC.
Câu 5. Cho 30 số tự nhiên, trong đó nếu có bốn số khác nhau thì chúng phải lập được thành một tỉ lệ thức. Chứng ming rằng trong 30 số đó có nhiều nhất 4 số khác nhau.
Giải: Giả sử có nhiều hơn 4 số khác nhau. Chọn các số khác nhau bất kì . Do là các số tự nhiên nên: và .
 Chỉ có thể 
Với 4 số ta cũng có 
Suy ra: vô lí. Suy ra đpcm.