Đề thi olympic môn Toán Lớp 7 - Năm học 2013-2014 - Trường THCS Nguyễn Trực (Có đáp án)

 PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRỰC - TT KIM BÀI
Họ và tên: ..............................................................
Lớp: ...........................................................................
ĐỀ THI OLYMPIC
Năm học 2013 - 2014
Môn: TOÁN 7
Thời gian: .......... phút
Câu 1 : (........................ điểm)	
(1) Cho tỉ lệ thức 
Cmr : ta có tỉ lệ thức sau (giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa)
a) 	b) 
(2) Cho a, b, c đôi một khác nhau và . Biết là số nguyên tố và . Tìm 
Câu 2 : (........................ điểm)
1) Tìm x, y biết :
a) 
b) (x, y là số nguyên tố)
2) Chứng minh rằng đa thức f(x) = không có nghiệm.
Câu 3 : (........................ điểm)
Tìm xz để đạt GTLN. Tìm GTLN của A.
Câu 4 : (........................ điểm)
Cho ABC nhọn, AD vuông góc với BC tại D. Xác định I ; J sao cho AB là trung trực của DI, AC là trung trực của DJ ; IJ cắt AB ; AC lần lượt ở L và K. Chứng minh rằng :
a) AIJ cân
b) DA là tia phân giác của góc LDK
c) BK AC ; CL AB
	d) Trực tâm của ABC chính là giao của 3 đường phân giác của DLK
	e) Nếu D là một điểm tùy ý trên cạnh BC. Chứng minh rằng góc IAJ có số đo không đổi và tìm vị trí điểm D trên cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ nhất.
- HẾT -
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI OLYMPIC TOÁN 7
Câu 1 : (5 điểm)	
1) (2 điểm)
a) Chứng minh đúng	(1đ)
b) Chứng minh đúng	(1đ)
2) (3 điểm)
- Từ gt hoán vị các trung tỉ và áp dụng tính chất dày tỉ số bằng nhau có nên b2 = ac.
- Đo là 1 số nguyên tố có hai chữ số nên b 
- Đo ac = b2 ta xét các trường hợp :
b = 1	=> a = c = 1 (loại do a c)
b = 3	=> a.c = 9 = 1.9 (do ac) => (do 93 không là số nguyên tố)
có (chọn)
b = 7 và b = 9 điều bị loại do dẫn đến a = c
Vậy 
Câu 2 : (6 điểm)	
(1) (4 điểm)
a) x = 2 hoặc x = 3	(2 điểm)
b) x = 5 ; y = 2	(2 điểm)
(2) Xét từng khoảng	(2 điểm)
+ Xét x 0 lập luận R dẫn đến f(x) 1 > 0
+ Xét 0 0
+ Xét x 1 lập luận dẫn đến f (x) > 0
 Trong cả ba khoảng trên đều có f(x) 0 nên đa thức f(x) không có nghiệm.
Câu 3 : (2 điểm)	
Biến đổi A = 2 + . Để 
Xét 11 - x B < 0
Xét 11 - x > 0 => B > 0 	=> Bmax B > 0
Lập luận để có 11 - x là số nguyên dương nhỏ nhất.
=> x = 10
A
=> GTLN của A bằng 12 khi và chỉ khi x = 10 
J
Câu 4 : (7 điểm)	
	 K
	 L
I
B
D
C
a) Do AB ; AC là trung trực của AB.	(1đ)
=> 	AI = AD
AD = AJ	 => AI = AJ => cân tại A.
	b) 	ALI = ALD (c.c.c) 	=> 
	TT : AKD = AKJ (c.c.c) 	=> 
	Mà AIJ cân (câu a) 	=> 	(1,5đ)
	=> 
	=> DA là tia p/g của 
	c) CMTT câu b : CL ; BK là p/g trong của ; trong DKL
	=> BK AC	(1,5 đ)
	 CL AB
	d) Từ câu c => trực tâm của ABC chính là giao của 3 đường phân giác trong DLK	(1 đ)
	e) . 	* CM được (không đổi)	(1 đ)
	* AIJ cân tại A có không đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nhất nếu cạnh bên AI nhỏ nhất.
	Ta có AI = AD AH (AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC)
	Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi D H	(1đ)
	Vậy khi D là chân dường vuông góc hạ từ A xuống BC thì IJ nhỏ nhất.
A
I
J
C
D
H
B
----Hết----