Đề thi olympic cấp h uyện năm học 2014 – 2015 môn thi: Toán 8

ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI OLYMPIC CẤP H UYỆN
NĂM HỌC 2014 – 2015
Môn thi: Toán 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 5,0 điểm) Cho biểu thức 
 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P
 b) Tìm x để 
 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 1
Câu 2 ( 6 điểm) 
Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho dư 10, f(x) chia cho dư 22, f(x) chia cho được thương là và còn dư
 Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì chia hết cho 6.
Giải phương trình nghiệm nguyên: 
Câu 3 (3,0 điểm)
 a) Cho và , tính giá trị của biểu thức:
Cho 2 số a và b thỏa mãn a1; b1. Chứng minh : 
Câu 4 : (6,0 điểm)
 Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC 
(M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
Chứng minh : ∆OEM vuông cân. 
Chứng minh : ME // BN.
Từ C kẻ CH BN ( H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
------------------HẾT-----------------
Họ và tên thí sinh:SBD:
( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm )
HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM THI OLYMPIC
Môn thi: Toán 8
Năm học: 2014 – 2015
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 
Ý 
Đáp án
Điểm
Câu 1( 5 điểm)
 1( 4 điểm)
a
2
đ
 ĐKXĐ : 
Không có đk x-1 trừ 0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b
2
đ
 với ĐKXĐ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
 ( TM ĐKXĐ)
Hoặc x = - 1 ( không TM ĐKXĐ)
(Nếu không loại x = - 1 trừ 0,25 điểm )
0,5đ
Vậy 
0,25đ
c
1
đ
0,25đ
0,25đ
Vì x > 1 nên và > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương x – 1 và ta có: 
0,25đ
Dấu “ = “ xẩy ra khi x – 1 = 
( x – 1)2 = 1 
 x – 1 = 1 ( vì x – 1 > 0 )
x = 2 ( TM )
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi x = 2
0,25đ
Câu 2( 6 điểm)
a
2
đ
Giả sử f(x) chia cho được thương là và còn dư là .
Khi đó: 	
0.5đ
Theo đề bài, ta có:
0.5đ
Do đó: 
0.5đ
Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: 
0.5đ
b
2
đ
a3 + 5 a = a3 – a + 6a
0,5đ
= a(a2 – 1) + 6a 
0,25đ
= (a-1)a(a+1)+ 6a 
0,25đ
* (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 bội của 2 suy ra chia hết cho 2
0,25đ
* (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 bội của 3 suy ra chia hết cho 3
0,25đ
Vì (2;3) = 1 nên (a-1)a(a+1) chia hết cho 6
0,25đ
* 6a chia hết cho 6
Vậy a3 + 5 a chia hết cho 6
0,25đ
c
2đ
0,5đ
1,0đ
0,25đ
0,25đ
 Câu 3(3,0 điểm)
CC
a
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b
=	 
0,25đ
=
0,25đ
= = 
0,25đ
= 	
0,5đ
Do a1; b1 nên 	 
0,25
Câu 4( 6 điểm)
Hình vẽ
0,5đ
a
3
đ
Xét ∆OEB và ∆OMC
0,25đ
Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC 
0,5đ
 Và 
0,5đ
 BE = CM ( gt )
0,25đ
Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c)	
0,25đ
 OE = OM và 
0,5đ
Lại có vì tứ giác ABCD là hình vuông
0,25đ
 kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân tại O
0,5đ
b
2đ
Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông AB = CD và AB // CD
0,5đ
+ AB // CD AB // CN ( Theo ĐL Ta- lét) (*)
0,5đ
Mà BE = CM (gt) và AB = CD AE = BM thay vào (*)
0,5đ
Ta có : ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét)
0,5đ
c
1đ
Gọi H’ là giao điểm của OM và BN
Từ ME // BN ( cặp góc so le trong)
Mà vì ∆OEM vuông cân tại O
∆OMC ∆BMH’ (g.g)
0,25đ
 ,kết hợp ( hai góc đối đỉnh)
0,25đ
∆OMB ∆CMH’ (c.g.c) 
0,25đ
Vậy 
Mà CH BN ( H BN) H H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm)
0,25đ
Lưu ý : Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 – LẦN 3
 THỜI GIAN 150 PHÚT
Bài 1: (4 điểm)
Cho biểu thức 
a) Rút gọn A.
b) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên.
Bài 2( 4điểm) 
 	a)Phân tích đa thức thành nhân tử: 
b) Tìm các cặp giá trị (x; y) nguyên thỏa mãn phương trình sau:
 2x2 – x( 2y -1) = y + 12
Bài 2 (4điểm):
 Cho phương trình: 
Giải phương trình khi a = 2
Tìm a để phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 4 : (6điểm) Cho hình vuông ABCD . Gọi E là 1 điểm trên cạnh BC . Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE . Ax cắt CD tại F . Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K . Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G . Chứng minh :
AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi .
AEF ~ CAF và AF2 = FK.FC
Khi E thay đổi trên BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi .
Bài 5 (2đ): 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 A = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6).
 ......................................Hết.....................................Trường THCS Đa Lộc ĐỀ ÔN HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 
Câu 1: 
Cho phân thức:
a) Rút gọn B.
b) Tìm giá trị lớn nhất của B.
Câu 2: 
Cho biểu thức: 
a) Rút gọn P.
b) Tính P khi 
Câu 3. a) Tìm các số a, b, c sao cho :
 Đa thức x4 + ax + b chia hết cho (x2 - 4)
 b) Cho hai bất phương trình: 
 3mx-2m > x+1 (1)
 m-2x < 0 (2)
Tìm m để hai bất phương trình trên có cùng một tập nghiệm.
Câu 4: 
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 
 1/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 3x2 + 6x + 4.
 2/ a,b,c là 3 cạch của tam giác. Chứng minh rằng: 
 4a2b2 > (a2 + b2 − c2)2
Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD . TRên đường chéo BD lấy điểm P , gọi M là điểm đối xứng của C qua P .
a) Tứ giác AMDB là hình gi?
b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AD , AB .
Chứng minh: EF // AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng.
c)Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.
Câu 6: 	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 , ( x khác 0)
Bài 4 (6đ):
 Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài ∆ đó ∆ABD vuông cân tại B và ∆ACE vuông cân tại C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BE. Chứng minh rằng:
 1, AH = AK
 2, AH2 = BH.CK
Bài 5(1 điểm). Cho các số a; b; c thoả mãn : a + b + c = .
Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 .
Câu 2. Chia đa thức x4 + ax + b cho x2 – 4
được đa thức dư suy ra a = 0 ; b = - 16.
Bài 5(1 điểm). Cho các số a; b; c thoả mãn : a + b + c = .
Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 .
Bài 5 (1điểm) 
Ta có: 
Tương tự ta cũng có: ; 
Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được:
. Vì nên: 
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =. 
Bài 4 :
a) ABE = ADF (c.g.c) AE = AF
 AEF vuông cân tại tại A nên AI ^ EF .
 IEG = IEK (g.c.g) IG = IK .
Tứ giác EGFK có 2 đường chéo cắt 
nhau tại trung điểm mỗi đường và
 vuông góc nên hình EGFK là hình thoi .
b) Ta có : 
 = ACF = 450 , góc F chung
 AKI ~ CAF (g.g) 
Tứ giác EGFK là hình thoi KE = KF = KD+ DF = KD + BE 
Chu vi tam giác EKC bằng KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( Không đổi) .Bài 4 (1đ): 
	A = = + 
	 = 
	 A min = khi x - 2007 = 0 hay x = 2007 (0,5đ)
Câu 3: (4 điểm )
a)(1 điểm ) Gọi O là giao điểm của AC và BD.
→ AM //PO → tứ giác AMDB là hình thang.
b) ( 1 điểm ) Do AM// BD → 
 góc OBA= góc MAE ( đồng vị )
Xét tam giác cân OAB → 
góc OBA= góc OAB 
Gọi I là giao điểm của MA và EF → D AEI cân ở I → góc IAE = góc IEA 
→ góc FEA = góc OAB → EF //AC .(1)
Mặt khác IP là đường trung bình của D MAC → IP // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra : E,F, P thẳng hàng.
c) (1 điểm ) Do D MAF ~ D DBA ( g-g) → không đổi.
d) Nếu → PD= 9k; PB = 16k.
Do đó CP2=PB. PD → ( 2,4)2=9.16k2 → k=0,2.
PD = 9k =1,8
PB = 16 k = 3,2
DB=5 
Từ đó ta chứng minh được BC2= BP. BD=16
Do đó : BC = 4 cm
CD = 3 cm
Tổ Toán
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG CUỐI
Môn: Toán – Ngày thi: ./ 3 / 2015 
Thời gian : 90 phút 
Bài 1 (3 điểm): Cho biểu thức
 a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định.
 b) Rút gọn A.
 c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A?
Bài 2 (2 điểm):
a) Giải phương trình :
b) Tìm các số x, y, z biết :
 x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và 
Bài 3 (1 điểm): Chứng minh với mọi n thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau. 
Bài 4 (2 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
 a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và 
 b) Cho và . Tính SEBC?
Bài 5 (2 điểm): 
 a) Chứng minh bất đẳng thức sau: (với x và y cùng dấu) 
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (với )
Bài 1 (3 điểm): Cho biểu thức
 a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định.
 b) Rút gọn A.
 c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A?
Bài 2 (2 điểm):
a) Giải phương trình :
b) Tìm các số x, y, z biết :
 x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 
 và 
Bài 3 (3 điểm):Chứng minh với mọi n thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau. 
Bài 4 (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
 a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và 
 b) Cho và . Tính SEBC?
 c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi.
 d) Kẻ. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh .
Bài 5 (2 điểm): 
 a) Chứng minh bất đẳng thức sau: (với x và y cùng dấu) 
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (với )
Bài 1: (4 điểm)
Điều kiện: x y; y0 	(1 điểm)
A = 2x(x+y)	(2 điểm)
Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, Từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A	
+ Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1 
 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2
 A = 2 – (x – y + 1)2 (do (x – y + 1) (với mọi x ; y) A 2. (0,5đ)
+ A = 2 khi 
+ A = 1 khi Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng hạn: 
+ Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2	(0,5 điểm)
Bài 2: (4 điểm)
 a) 
	(1 điểm)
	(0,5 điểm)
	(0,5 điểm)
b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0
(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0	(0,75 điểm)
x2009 = y2009 = z2009	(0,75 điểm)
Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010
 z2009 = 32009
 z = 3
Vậy x = y = z = 3	(0,5 điểm)
Bài 3 (3 điểm)
Cần Chứng minh: n5 – n 10
- Chứng minh : n5 - n 2
 n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) 2 (vì n(n – 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp)	(1 điểm)
- Chứng minh: n5 – n 5
 n5 - n = ... = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5)
 = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) 
lý luận dẫn đến tổng trên chia HếT cho 5	(1,25 điểm)
- Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10
Suy ra n5 và n có chữ số tận cũng giống nhau.	(0,75 điểm)
Bài 4: 6 điểm
Câu a: 2 điểm
* Chứng minh EA.EB = ED.EC	(1 điểm)
- Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg)	0,5 điểm
- Từ đã suy ra 	0,5 điểm
* Chứng minh 	(1 điểm)
- Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc)	0,75 điểm
- Suy ra 	0,25 điểm
Câu b: 1,5 điểm
- Từ = 120o = 60o = 30o	0,5 điểm
- XÐt EDB vuông Tại D có = 30o
	 ED = EB 	0,5 điểm
- Lý luận cho Từ đã SECB = 144 cm2	0,5 điểm
Câu c: 1,5 điểm
- Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 điểm
- Chứng minh CM.CA = CI.BC	0,5 điểm
- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi	 0,5 điểm
Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2
Câu d: 2 điểm
- Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 	0,5 điểm
	0,5 điểm
- Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc)
	1 điểm
Bài 5: (2 điểm)
vì x, y cùng dấu nên xy > 0, do đó (*) 
(**). Bất đẳng thức (**) luôn đúng, suy ra bđt (*) đúng (đpcm) (0,75đ)
 Đặt 
 	(0,25đ)	
 Biểu thức đã cho trà thành P = t2 – 3t + 3 
	P = t2 – 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1	
- Nêu x; y cùng dấu, theo c/m câu a) suy ra t 2. t – 2 0 ; t – 1 > 0 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2 x = y (1) (0,25đ)
- Nêu x; y trái dấu thì và t < 0 t – 1 < 0 và t – 2 < 0 
 > 0 P > 1 	(2)	
- Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x 0 ; y 0 thì luôn có P 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pm=1 khi x=y
Hướng dẫn thu gọn
Bài 2 b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0 (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0	
 x2009 = y2009 = z2009	Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010
 z2009 = 32009
 z = 3 Vậy x = y = z = 3	
Bài 3 n5 - n = ... = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5)
 = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) 
Bài 4: 
*a/ Chứng minh EA.EB = ED.EC	
- Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg)	
- Từ đã suy ra 	
* Chứng minh 	(1 điểm)
- Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc)	
- Suy ra 	
b/ Từ = 120o = 60o = 30o	
- XÐt EDB vuông Tại D có = 30o
	 ED = EB 	
- Lý luận cho Từ đã SECB = 144 cm2	
Bài 5: b) Đặt ;P = t2 – 3t + 3 
	P = t2 – 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1	
- Nêu x; y cùng dấu, theo c/m câu a) suy ra t 2. t – 2 0 ; t – 1 > 0 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2 x = y (1) (0,25đ)
- Nêu x; y trái dấu thì và t < 0 t – 1 < 0 và t – 2 < 0 
 > 0 P > 1 	(2)	(0,25đ)
- Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x 0 ; y 0 thì luôn có P 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pm=1 khi x=y