Đề thi HSG lớp 9 vòng 2, quận Tân Phú (2014-2015) môn Toán

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 
Trang 1 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) – Quận TÂN PHÚ (14-15) 
 (NGÀY THI: 29/11/2014) 
Bài 1: Cho a, b, c khác 0 và a + b+ c = 0. Hãy chứng minh: 
     
  
     
4 4 4
2 2 2
4 2 2 4 2 2 4 2 2
a b c 3
4
a b c b c a c a b
Bài 2: Giải phương trình: 
         2x 1 x 2 2x 2 x x 2 1 8 
Bài 3: Cho a, b dương. Hãy chứng minh:  

   
2 a b
a b 2a b 2b a
2
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 


2
2x 1
A
x 2
Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trên tia đối 
của tia DC lấy P, PM cắt AC tại Q. Chứng minh: MP.NQ = MQ.NP 
Bài 6: Tìm cặp số nguyên sao cho tích của nó bằng 7 lần tổng. 
   HẾT   
ĐỀ THI HSG LỚP 9 
VÒNG 2, QUẬN TÂN PHÚ 
(2014-2015) 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 
Trang 2 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) – Quận TÂN PHÚ (14-15) 
Bài 1: Cho a, b, c khác 0 và a + b + c = 0. Hãy chứng minh: 
     
  
     
4 4 4
2 2 2
4 2 2 4 2 2 4 2 2
a b c 3
4
a b c b c a c a b
Ta có: a + b + c = 0                   
3 3
3 3 3
a b c a b c a b 3ab a b c 
             3 3 3 3 3 3a b c 3ab a b a b c 3abc do a + b = c 
Ta có: a + b + c = 0 
          
 
              
             
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b 2ab c a b c 2aba b c
b c a b c 2bc a b c a 2bc
c a b c a 2ca b c a b 2ca
Ta có : 
     
  
     
4 4 4
2 2 2
4 2 2 4 2 2 4 2 2
a b c
VT
a b c b c a c a b
        
 
           
4 4 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c
=
a b c a b c b c a b c a c a b c a b
        
 
     
      
           
    
4 4 4
2 2 2 3 3 3
a b c
=
2ca 2ab 2ab 2bc 2bc 2ca
1 a b c 1 a b c 1 3abc 3
VP
4 bc ca ab 4 abc 4 abc 4
Vậy 
     
  
     
4 4 4
2 2 2
4 2 2 4 2 2 4 2 2
a b c 3
4
a b c b c a c a b
Bài 2: Giải phương trình: 
         2x 1 x 2 2x 2 x x 2 1 8 
Điều kiện: 
    
   
   
x 1 0 x 1
x 2
x 2 0 x 2
Ta có:          2x 1 x 2 2x 2 x x 2 1 8 
               x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 2 x 2 8 
ĐỀ THI HSG LỚP 9 (Vòng 2) 
Quận TÂN PHÚ – (2014-2015) 
HƯỚNG DẪN 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 
Trang 3 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) – Quận TÂN PHÚ (14-15) 
    
  
  
  
2 3
3
2
x 1 x 2 x 1 x 2 8 x 1 x 2 2
x 1 x 2 2
x 1 2 x 1 x 2 x 2 4
2 x 1 x 2 2x 5
2x 5 0
4 x 1 x 2 4x 20x 25
5
x
332 x (nhận so với điều kiện x 2)
1633
x
16
            
    
       
     
  
 
    


   
 

 Vậy 
 
  
 
33
S
16
Bài 3: Cho a, b dương. Hãy chứng minh:  

   
2 a b
a b 2a b 2b a
2
Ta có:  

   
2 a b
a b 2a b 2b a
2
           
 
1
a b a b 2 ab a b
2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
 

   

          

   
1 1
a 2 a a
1 1 14 4
a b a b a b a b 1
4 4 21 1
b 2 b b
4 4
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:   a b 2 ab 2 
Từ (1) và (2), ta suy ra          
 
1
a b a b 2 ab a b
2
Vậy  

   
2 a b
a b 2a b 2b a
2
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 


2
2x 1
A
x 2
Ta có : 
        
        
   
2
2 2
2 2 2 2
x 12x 1 2x 1 x 2 x 2x 1
A 1 1 0 A 1
x 2 x 2 x 2 x 2
Vậy     
max
A 1. Dấu ''='' xảy ra khi x 1 0 x 1 
Ta có : 
 
   
 
 
     
         
   
2 2
2
2 2 2 2
2 2x 1 x 2 x 21 2x 1 1 x 4x 4 1
A 0 A
2 2 2x 2 2 x 2 2 x 2 2 x 2
Vậy       
min
1
A . Dấu ''='' xảy ra khi x 2 0 x 2
2
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 
Trang 4 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) – Quận TÂN PHÚ (14-15) 
Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trên tia đối 
của tia DC lấy P, PM cắt AC tại Q. Chứng minh: MP.NQ = MQ.NP 
T
Q
O
N
M
C
A
D
B
P
` 
Gọi T là giao điểm của QN và DC. 
Gọi O là giao điểm của AC và MN. 
Ta dễ chứng minh được tứ giác ANCM là hình bình hành. Do đó, O là trung điểm của MN. 
Ta có: 
 
 
 



  
 

OM QO
 ...
OM ONPC QC
 mà OM ON ... nên PC = CT
PC CTON QO
 ...
CT QC
Do đó, NPT cân tại N.  NTP NPT 
Mà 
 
 
 


MNP NPT 2 góc so le trong và MN // PT
QNP NTP 2 góc đồng vị và MN // PT
nên MNP QNP 
MN là đường phân giác của     
MP NP
NPQ tính chất đường phân giác trong NPQ
MQ NQ
 MP.NQ = MQ.NP 
Bài 6: Tìm cặp số nguyên sao cho tích của nó bằng 7 lần tổng. 
 Gọi a, b là 2 số cần tìm (a,b Z ) 
Theo đề bài, ta có: ab = 7(a+b)      a 7 b 7 49 
Do a, b là 2 số nguyên nên ta có bảng sau: 
a – 7 1 -1 49 -49 7 -7 
b – 7 49 -49 1 -1 7 -7 
A 8 6 56 -42 14 0 
B 56 -42 8 6 14 0 
Vậy các cặp số nguyên cần tìm là: (8;56), (56;8), (6;-42), (-42;6), (14;14), (0;0) 
  HẾT  