Đề thi HSG lớp 9 quận Bình Thạnh – (2014-2015) môn Toán

COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 
Trang 1 Hoïc Sinh Gioûi Lôùp 9 – Quaän BÌNH THAÏNH (14-15) 
Thôøi gian: 150 phuùt 
Baøi 1: (4 ñieåm) Cho bieåu thöùc: 
x x 3 x 2 9 x
P 1 :
x 3 2 x 3 x x x 6
     
      
          
 vôùi x 0;x 4  
a) Ruùt goïn. 
b) Tìm x Z ñeå x P Z  
Baøi 2: (5 ñieåm) Giaûi phöông trình: 
a) 3 3x 1 7 x 2    
b) 2x 4x 2 2x 3 5    
c)     
2
6x 5 3x 2 x 1 35    
Baøi 3: (4 ñieåm) 
a) Chöùng minh:    
2 2
2 2 2 2
a b c d a c b d       . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa: 
2 2
x 1 x 2x 5    
b) Cho ba soá a, b, c döông thoûa a b c 1   
Chöùng minh: 
a b b c a c 1 a 1 b 1 c
6 2 2
b a c b c a a b c
   
         
 
 
Baøi 4: (2 ñieåm) 
a) Cho a b c 0   . Chöùng minh: 3 3 3a b c 3abc   
b) Cho x,y,z 0 vaø 
1 1 1
0
x y z
   . Tính: 
2 2 2
yz xz xy
x y z
  
Baøi 5: (3,5 ñieåm) 
Töø ñieåm A naèm ngoaøi ñöôøng troøn (O), veõ hai tieáp tuyeán AB, AC vôùi ñöôøng troøn (O) (B, C laø caùc 
tieáp ñieåm). OA caét BC taïi H. Veõ ñöôøng kính BD, AD caét (O) taïi E (E khaùc D) vaø caét BC taïi I. 
a) Chöùng minh: AHE ADO 
b) Chöùng minh: HE CE 
Baøi 6: (1,5 ñieåm) Cho ABC nhoïn (AB < AC). Ñöôøng troøn taâm I ñöôøng kính BC caét AB, AC laàn 
löôït taïi F vaø E. Hai tia BE, CF caét nhau taïi H. Ñöôøng thaúng qua H vuoâng goùc vôùi IH caét AB, AC 
taïi P, Q. 
a) Chöùng minh: AHQ BIH ∽ 
b) Chöùng minh: H laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng PQ. 
   HEÁT   
ÑEÀ THI HSG LÔÙP 9 
QUAÄN BÌNH THAÏNH – (2014-2015) 
COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 
Trang 2 Hoïc Sinh Gioûi Lôùp 9 – Quaän BÌNH THAÏNH (14-15) 
Baøi 1: (4 ñieåm) Cho bieåu thöùc: 
x x 3 x 2 9 x
P 1 :
x 3 2 x 3 x x x 6
     
      
          
 vôùi x 0;x 4  
a) Ruùt goïn. 
x x 3 x 2 9 x
P 1 :
x 3 2 x 3 x x x 6
     
      
          
  
    
  
 
  
 
 
 
 
 
           
          
 
         
     
    
 
       
          
            
2
2
x 3 x x 3 x 2 9 x
P :
x 3 x 2 x 3 x 2 x 3
x 3 x 3 x 2 9 x
3
P :
x 3 x 2 x 3
x 2 x 2 x 3
3 3 3 3
P : :
x 3 x 3 x 3 x 2x 2 x 3 x 3 x 2
b) Tìm x Z ñeå x P Z  
Ñaët  M x P 
TH1: x laø soá nguyeân. 
     
     
   
Ñeå M Z thì 3 x 2 x 2 Ö 3
 x 2 1;1;3 vì x 2 2 
 x 1;3;5 x 1;9;25
    
      
   
TH2: x laø soá voâ tæ. 
Khi ñoù: 
 
    
 
3 x 2 x 3
M x P x
x 2 x 2
     M x 2 x 2 x 3 
    M x 2M x 2 x 3 
     M 2 x x 2M 3 
Neáu  M 2 thì  
 
 

x 2M 3
x Q vo â lí
M 2
           M 2 x 2M 3 0 x 4 3 0 x 7 
ÑEÀ THI HSG LÔÙP 9 
QUAÄN BÌNH THAÏNH – (2014-2015) 
HÖÔÙNG DAÃN 
COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 
Trang 3 Hoïc Sinh Gioûi Lôùp 9 – Quaän BÌNH THAÏNH (14-15) 
Thöû laïi, theá x = 7 vaøo  

3
M x ,
x 2
 ta ñöôïc: 
 
  
 

         
  
3 7 2
3
M 7 7 7 7 2 2 Z
7 2 7 2 7 2
 nhaän x = 7 
Vaäy    x 1;7;9;25 thì x P Z 
Baø 2: (5 ñieåm) Giaûi phöông trình: 
a) 3 3x 1 7 x 2    
         
3
3 33 3 3
x 1 7 x 2 x 1 7 x 2 
     
 
               
    
      
  
 
 
3 3 33 3 3
3 3
x 1 7 x 3 x 1 7 x x 1 7 x 8 8 3 x 1 7 x.2 8
x 1 0 x 1
x 1 Va7 x 0 
7 x 0 x 7
äy S 1;7
b) 2x 4x 2 2x 3 5    
Ñieàu kieän:  
3
x
2
                       
2
2
2 2
x 4x 2 2x 3 5 x 2x 1 2x 3 2 2x 3 1 0 x 1 2x 3 1 0 
 
  
   
  
x 1 0
x 1 nhaän
2x 3 1 0
 Vaäy   S 1 
c)     
2
6x 5 3x 2 x 1 35    
     
2
6x 5 3x 2 x 1 35    
    
  
    
     
2
2 2
6x 5 6x 4 6x 6 420
36x 60x 25 36x 60x 24 420
Ñaët   2t 36x 60x 24 , phöông trình trôû thaønh: 
                  2 2t 1 t 420 t t 420 0 t 21t 20t 210 0 t 21 t 20 0 
TH1:               2 2 2t 21 0 36x 60x 24 21 0 36x 60x 45 0 12x 20x 9 0 (voânghieäm) 
TH2:               2 2 2t 20 0 36x 60x 24 20 0 36x 60x 4 0 9x 15x 1 0 
  


  


5 21
x
6
5 21
x
6
 Vaäy 
     
  
  
5 21 5 21
S ;
6 6
Baøi 3: (4 ñieåm) 
a) Chöùng minh:    
2 2
2 2 2 2
a b c d a c b d       . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa: 
2 2
x 1 x 2x 5    
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Trang 4 Hoïc Sinh Gioûi Lôùp 9 – Quaän BÌNH THAÏNH (14-15) 
Ta coù:    
2 2
2 2 2 2
a b c d a c b d       (1) 
     
 
       
            
    
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
a b c d a c b d
a b 2 a b c d c d a 2ac c b 2bd d
a b c d ac bd 2
TH1: ac bd < 0 thì (2) luoân ñuùng  (1) ñuùng. 
TH2:  ac bd 0 , khi ñoù (2) trôû thaønh: 
   
     
  
  
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
 a c a d b c b d a c 2adbc b d
a d b c 2adbc
ad bc 0 baát ñaúng thöùc ñuùng
Vaäy    
2 2
2 2 2 2
a b c d a c b d       . Daáu ‘’=’’ xaûy ra khi ad = bc 
Ta coù:          
2
2 2 2 2 2
x 1 x 2x 5 x 1 1 x 2 
AÙp duïng baát ñaúng thöùc treân, ta coù: 
     
 
 
 
         
 
 
       
 
     
     
2
2 2 2
2 2 2
2
2
2 2 2
2
2 2 2
2 2
x 1 1 x 2 x 1 x 1 2
x 1 1 x 2 1 9
x 1 1 x 2 10
x 1 x 2x 5 10
Vaäy giaù trò nhoû nhaát cuûa    2 2x 1 x 2x 5 laø 10 
Daáu ‘’=’’ xaûy ra khi     
1
2x 1 1 x x
3
b) Cho ba soá a, b, c döông thoûa a b c 1   
Chöùng minh: 
a b b c a c 1 a 1 b 1 c
6 2 2
b a c b c a a b c
   
         
 
 
AÙp duïng baát ñaúng thöùc Coâ-si cho 2 soá döông, ta coù: 
    
         
   

    
        
   

                
b c b c b c
2 2 2 2 2
a a a a a
a c a c a c
2 2 2 2 2
b b b b b
b a b a b a
2 2 2 2 2
c c c c c
   
          
 
 
a b b c a c b c a c b a
6 2 2
b a c b c a a b c
Maø a + b + c = 1 
COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 
Trang 5 Hoïc Sinh Gioûi Lôùp 9 – Quaän BÌNH THAÏNH (14-15) 
Neân 
a b b c a c 1 a 1 b 1 c
6 2 2
b a c b c a a b c
   
         
 
 
Baøi 4: (2 ñieåm) 
a) Cho a b c 0   . Chöùng minh: 3 3 3a b c 3abc   
Ta coù:                      
3 3
3 3 3
a b c 0 a b c a b c a b 3ab a b c 
          3 3 3 3 3 3a b 3ab c c a b c 3abc 
b) Cho x,y,z 0 vaø 
1 1 1
0
x y z
   . Tính: 
2 2 2
yz xz xy
x y z
  
      
             
       
3 3 3
2 2 2 3 3 3
yz xz xy xyz xyz xyz 1 1 1
xyz
x y zx y z x y z
AÙp duïng caâu a) ta coù: 
       
              
       
3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 vôùi 0
x y z x y z x y z
Do ñoù: 
 
      
 
2 2 2
yz xz xy 1 1 1
xyz.3 3
x y zx y z
Baøi 5: (3,5 ñieåm) 
Töø ñieåm A naèm ngoaøi ñöôøng troøn (O), veõ hai tieáp tuyeán AB, AC vôùi ñöôøng troøn (O) (B, C laø 
caùc tieáp ñieåm). OA caét BC taïi H. Veõ ñöôøng kính BD, AD caét (O) taïi E (E khaùc D) vaø caét BC taïi I. 
a) Chöùng minh: AHE ADO . 
Ta coù : 
 
 
 
   

2
2
AB AH.AO HTL AH AE
AH.AO AE.AD
AD AOAB AE.AD HTL
Xeùt 
 
 
 

  


HAE DAO goùc chung
AHE vaø ADO, ta coù: 
AH AE
 cmt
AD AO
      AHE ADO c g c AHE ADO∽ 
b) Chöùng minh: HE CE 
Xeùt 
 
 
 
  
 
0
CID EIB 2 goùc ñoái ñænh
ICD vaø IEB, ta coù: 
ICD IEB 90
   ICD IEB g g∽ 
    
IC ID IC IE
tsñd
IE IB ID IB
H
I
E
C
O
B
A
D
COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 
Trang 6 Hoïc Sinh Gioûi Lôùp 9 – Quaän BÌNH THAÏNH (14-15) 
Xeùt 
 
 
 

  


CIE BID 2 goùc ñoái ñænh
ICE vaø IDB, ta coù: 
IC IE
 cmt
ID IB
   ICE IDB g g∽ 
 ICE = IDB HCE = ADO 
maø AHE ADO (cm caâu a) neân  AHE HCE 
Maët khaùc:    0 AHE CHE 90 ... neân      0 0 HCE CHE 90 ,.... HEC 90 HE CE 
Baøi 6: (1,5 ñieåm) Cho ABC nhoïn (AB < AC). Ñöôøng troøn taâm I ñöôøng kính BC caét AB, AC laàn 
löôït taïi F vaø E. Hai tia BE, CF caét nhau taïi H. Ñöôøng thaúng qua H vuoâng goùc vôùi IH caét AB, AC 
taïi P, Q 
b) Chöùng minh: AHQ BIH ∽ 
Ta coù: 
 
   
  
 
0
0
0
EHQ QHI IHB 180
EHQ IHB 90
QHI 90 PQ HI taïi H
maø    0EHQ EQH 90 EHQ vuoâng taïi E neân   EQH BHI AQH BHI 
Xeùt  AHQ vaø BIH , ta coù: 
 
 
 
 

   


AQH BHI cmt
AHQ BIH g g
HAQ HBI cuøng phuï ACB
∽ 
c) Chöùng minh: H laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng PQ. 
Ta coù: 
 
 
 
  


   

  

0
0
AHP AHQ 180 2 goùc keà buø
HIC HIB 180 2 goùc keà buø AHP HIC
AHQ HIB AHQ BIH∽
Xeùt  AHP vaø CIH , ta coù: 
 
 
 
 

   


AHP HIC cmt
AHP CIH g g
HAP HCI cuøng phuï ABC
∽ 
Ta coù: 
 
 
HP AH
AHP CIH
HP HQCI IH
CI BIHQ AH
AHQ BIH
BI IH
maø CI = BI neân HP = HQ

  
 
   

∽
∽
Suy ra H laø trung ñieåm cuûa PQ (vì P, H, Q thaúng haøng) 
   HEÁT   
Q
P
H
E
F
I
A
B C