Đề thi HSG huyện Bình Giang năm học 2015 – 2016 môn Toán 9

ĐỀ THI HSG HUYỆN BÌNH GIANG Năm học 2015 – 2016 Câu 1. 2đ. Rút gọn biểu thức: 
1) A = 2 22 1 2 3 1 316. ( 1,25) 2 3 2 3                 
2) B =  1 a 1 a 2 a 1    với a  1. 
Câu 2. 2đ. Tìm x, biết: 
1) 2x 3x6x 53 2   
2) 26x x 2  
Câu 3. 2đ. 
1) Cho x thỏa mãn 2x 3x 4x 2 3 6 8 16       . 
Chứng minh rằng 2x x là số tự nhiên. 
2) Với x  0, tìm số nguyên m nhỏ nhất thỏa mãn (m – 2016)x2 = 2x + 1. 
Câu 4. 3đ. 
1) Cho ABC cân tại A, A = 300; AB = 2a (a > 0), kẻ đường cao BH (H  AC). 
Không dùng máy tính và bảng số, hãy tính: 
a) Độ dài HC theo a. 
b) Sin750. 
2) Cho  , ( + 10) là các góc nhọn. Hãy so sánh sin và tan( + 10); cos(+10) 
và cot . 
Câu 5. 1đ. 
 Tìm số cạnh của một đa giác biết số cạnh cần tìm lớn hơn 10 và đa giác đó có ít 
hơn 60 đường chéo. 
GỢI Ý. 
Câu 1. 2đ. Rút gọn biểu thức: 
1) A = 2 22 1 2 3 1 316. ( 1,25) 2 3 2 3                 
A = 1 2 3 1 316.1,25 2 3 2 3    = 20 + 3 
2) B =  1 a 1 a 2 a 1    với a  1. 
  2B 1 a 1 . ( a 1 1)     =  1 a 1 .(1 a 1)    = 1 – a + 1 = 2 – a. 
Câu 2. 2đ. Tìm x, biết: 
1) 2x 3x6x 53 2   
ĐK: x  0. 
 6x 6x6x 59 4    1 16x. 1 53 2       56x. 56   6x 6  x 6 . 
Kết hợp ĐK  0  x < 6. 
2) 26x x 2  
Xét x < 0  6x2 + x – 2 = 0  x = 1/2 loại, x = -2/3 thỏa mãn 
Xét x  0  6x2 – x – 2 = 0  x = 2/3 thỏa mãn; x = -1/2 loại. 
Câu 3. 2đ. 
1) Cho x thỏa mãn 2x 3x 4x 2 3 6 8 16       . 
Chứng minh rằng 2x x là số tự nhiên.  x 2 3 4 2 3 2 6 8 2        
    x 2 3 4 2 3 4 2( 3 4 2)        
    x 2 3 4 2 3 4 ( 2 1)       x 2 1  
 2x x = 2( 2 1) 2 1   = 1 là số tự nhiên. 
2) Với x  0, tìm số nguyên m nhỏ nhất thỏa mãn (m – 2016)x2 = 2x + 1. (*) 
Ta thấy x = 0 không thỏa mãn đẳng thức (*)  x  0. 
 m – 2016 = 22 22x 1 2 1 1 1 1x x x x          -1 với mọi x 
(Dấu “=” xảy ra  x = -1) 
 m – 2016  -1  m  2015. 
 số nguyên m nhỏ nhất thỏa mãn * là m = 2015. 
Câu 4. 3đ. 
1) Cho ABC cân tại A, A = 300; AB = 2a (a > 0), kẻ đường cao BH (H  AC). 
Không dùng máy tính và bảng số, hãy tính: 
a) Độ dài HC theo a. 
b) Sin750. 
1) 
a) AH = AB.cosA = AB. 32 = 2a. 32 =a 3 
 HC = 2a - a 3 . 
b) BH = AB.sinA = 2a.sin300 = a. 
BC2 = BH2 + HC2 = 2 2 2 2a .(2 3) a a .(8 4 3)    
 BC = a.2 2 3 a.( 6 2)   
 sinC = sin750 = BHBC = a 6 24a.( 6 2)  
H
B C
A
2) Cho  , ( + 10) là các góc nhọn. Hãy so sánh sin và tan( + 10); cos(+10) 
và cot . 
+ Vì 0 < <  + 10 < 900  sin < sin( + 10) < 0 00sin(  1 ) tan( 1 )cos( 1 )      
 (Do 0 < cos(+10) < 1) 
+) Tương tự, cos( + 10) < cos < cos cotsin   
Câu 5. 1đ. 
 Tìm số cạnh của một đa giác biết số cạnh cần tìm lớn hơn 10 và đa giác đó có ít 
hơn 60 đường chéo. 
Giả sử đa giác đó có n – cạnh  đa giác đó có n – đỉnh (n  N; 10 < n). 
 Số đường chéo xuất phát từ một đỉnh là: n – 3 đường 
  Số đường chéo của đa giác đó là: n(n 3)2 đường chéo. 
 Do số đường chéo ít hơn 60  n(n 3)2 < 60  n2 – 3n – 120 < 0 
 4n2 – 12n + 9 < 489  (2n – 3)2 < 489 < 232, 
Do n nguyên  -23 10  n  {11; 12}