Đề thi học sinh giỏi vòng thành phố Cao Lãnh môn: toán - Lớp 9 THCS Năm học: 2011 – 2012

UBND THÀNH PHỐ CAO LÃNH CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
KỲ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG THÀNH PHỐ
Đề thi chính thức
Môn: Toán - Lớp 9 THCS. 
Năm học: 2011 – 2012 
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
 	Ngày thi: 19/01/2012.
Chú ý: - Đề thi này gồm 01 trang.
	 - Học sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi khi làm bài. 
 - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Câu 1. (4 điểm) 
a). Tính giá trị biểu thức: .
b). Rút gọn biểu thức: . 
Câu 2. (4 điểm) 
a) So sánh hai số C và D biết: C = ; D = .
b) Cho xy 1.Chứng minh rằng: .
Câu 3. (4 điểm) 
a) Giải phương trình:.
b) Giải hệ phương trình sau 
Câu 4. (4 điểm) Cho DABC và trung tuyến AM (MBC). Kẻ đường thẳng d cắt AB tại E, cắt AC tại F và cắt trung tuyến AM tại N. 
a) Chứng minh: .
b) Giả sử đường thẳng d//BC. Trên tia đối của tia FB lấy điểm K, đường thẳng KN cắt AB tại P, đường thẳng KM cắt AC tại Q. Chứng minh PQ//BC.
Câu 5. (4 điểm): Cho hình vuông ABCD. Gọi P là trung điểm của cạnh AB. Trên đường chéo AC lấy điểm Q sao cho AQ = 3.QC . Chứng minh PQQD. 
 - Hết -
Họ và tên thí sinh: 
SBD: ..
Phòng thi số: 
Chữ ký giám thị 1:
Chữ ký giám thị 2:
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MÔN TOÁN
Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 cấp thành phố
Năm học: 2011 -- 2012
(Đề thi chính thức)
Chú ý: Thí sinh có cách giải khác nhưng đảm bảo đúng kết quả vẫn được hưởng điểm tối đa.
Bài
Lời giải
Điểm
1
(4đ)
a) .
b). B có nghĩa Û 
1,5
0,5
1,0
1,0
2
(4đ)
a) Ta có: C ; D 
 Vì 
 Nên C > D.
b) Ta có: 
 BĐT cuối này đúng do xy > 1 .
Vậy .
0,5
0,5
0,5
0,5
1,0
1,0
3
(4đ)
a) Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 4. Đặt . 
 Ta có : ab =, a2 + b2 = 4. Phương trình là: 
Þ a2 - a2b + b2 + ab2 = (2 - b + a - ab)
Þ (a2 + b2 – 2 + ab) – ab(a – b) = 2(a – b)
Þ (2 + ab) = (a – b)(2 + ab) (chú ý : a2 + b2 = 4)
Þ a – b = (do ab + 2 ≠ 0)
Bình phương: a2 + b2 – 2ab = 2 Þ 2ab = 2 Þ ab = 1 Þ = 1. 
Tìm được x = 3.
b) Từ phương trình (1) hay 
 Từ phương trình (2) 
 Nếu x = thì y = 2
 Nếu x = - thì y = -2
 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: và .
0,5
1,0
0,5
0,5
0,5
1,0
0,5
4
(4đ)
I
F
E
S
M
N
C
B
A
a) 
Kẻ BI và CS cùng song song với EF , Ta có: . Suy ra: 
Ta có: (g.c.g) 
 Vậy: 
 Thay vào (*) ta được: .
 b) 
Khi là trung điểm của EF. 
+ Từ F kẻ đường thẳng song song với AB cắt KP tại L. Ta có: . Do đó : 
+ Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt KM tại H
Ta có: 
Do đó: 
Từ (1) và (2) suy ra: .
1,0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
5
(4đ)
Q
N
P
M
D
C
B
A
 Kẻ QMAB và QNAD. Tứ giác AMQN có nên nó là hình chữ nhật.
 AC là phân giác của nên AQ là phân giác của .
 Vậy tứ giác AMQN là hình vuông.
 Suy ra: AM = AN, kết hợp với AB = AD nên MB = ND.
 QM // BC suy ra . Do đó : hay AB = 4.MB
Ta lại có: AB = 2.PB nên PB = 2.MB. Vậy MB = MP nên MP = DN
Từ đó ΔQND = ΔQMP. Suy ra: nhưng 
nên 
 Vậy: PQQD.
0,5
0,5
1,0
0,5
1,0
0,5
- Hết -