Đề thi học sinh giỏi - Trường THCS Nguyễn Du – Thành phố Hồ Chí Minh năm học 2015 - 2016 môn Toán 8

ĐỀ THI HSG TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU – THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
NĂM HỌC 2015-2016
Môn Toán 8 
thời gian 90 phút.
Bài 1: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
 a. Phõn tớch biểu thức A thành nhõn tử.
 b. Chứng minh: Nếu a, b, c là độ dài cỏc cạnh của một tam giỏc thỡ 
 A < 0.
Bài 2:
 a. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
 A = x2– 2xy + 2y2 - 4y + 2015
 b. Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a> b > 0
Tính: 
Bài 3:Cho M = : 
 a. Tìm ĐKXĐ của M 
 b. Rỳt gọn M
 c.Tìm x nguyên để M đạt giá lớn nhất.
Bài 4 : 
 Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy M bất kì sao cho BM < CM. Từ M vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F.
a) Tứ giác AEMF là hình gì? vì sao?
Chứng minh : AFEN là hình thang cân?
M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi? Vì sao? 
d) Tính : ANB + ACB = ?
Hdc đề thi HSG Trường Môn Toán 8 
Bài 1: (5đ)
 a). A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2 - 2bc)( b2 + c2 - a2 + 2bc) 
 = = (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a) (3đ)
 b). Ta cú: (b+c –a ) >0 ( BĐT trong tam giỏc) 
 Tương tự: (b + c +a) >0 ; (b –c –a ) 0 Vậy A< 0 (2đ)
Bài 2: (4đ)
 a). A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + 4 + 2011 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 2011 2011
Dấu ''='' xảy ra x – y = 0 và y – 2 = 0 x = y = 2.
Vậy GTNN của A là 2011 tại x = y =2 (3đ)
 b). Từ 4a2 + b2 = 5ab ta có (a-b)(4a-b) = 0 vì 2a> b > 0 => 4a>b>0 => a=b => P = . (1đ)
Bài 3: (4đ)
 a) ĐKXĐ: x0, x2; x-2 (1đ)
 b) M = : = = (2đ)
 c). Nếu x 2 thì M 0 nên M không đạt GTLN.
 Vậy x 2, khi đó M có cả Tử và Mẫu đều là số dương, nên M muốn đạt GTLN thì Mẫu là (2 – x) phải là GTNN, Mà (2 – x) là số nguyên dương 2 – x = 1 x = 1.
 Vậy để M đạt GTLN thì giá trị nguyên của x là: 1. (1đ)
Bài 4 : (7đ)
Tứ giác AEMF là hình bình hành vì có các cạnh đối song song. (2đ)
Gọi EF cắt MA và MN tại O và K=> OK//AN (đtb) 
Mặt khác AE=NF (cùng bằng MF) => AFEN là hình thang cân. (2đ)
Tứ giác AEMF đã là hình bình hành, nó sẽ trở thành hình thoi khi có AM là phân giác góc BAC=> khi đó M là giao phân giác góc BAC với cạnh BC (HS có thể tìm ra M là trung điểm BC vì ABC cân) (2đ)
Ta có EN=EB (cùng bằng EM)
 => ENB =EBN
Mà ENA+C =NAC+ABC (T/c tam giác cân và hình thang cân) 
Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên => tứ giác ANBC tổng hai góc đối này bằng tổng hai góc đối kia nên : ANB + ACB = 1800 (1đ)