Đề thi học sinh giỏi trại hè Hùng Vương lần thứ IX môn Toán Lớp 11 năm 2013 - Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ

SỞ GD& ĐT HÒA BÌNH	ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ IX
TRƯỜNG THPT CHUYÊN 	MÔN : TOÁN –LỚP 11
HOÀNG VĂN THỤ	Ngày thi: 02 tháng 08 năm 2013
Câu 1. ( 5 điểm) Cho dãy số xác định bởi 
	Đặt . Tính .
Câu 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm AC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD giao với phân giác góc tại E nằm trong tam giác ABC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE giao với BD tại F( khác B), AF giao với BE tại I. CI giao với BD tại K. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABK.
Câu 3. Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây:
	1. với mọi .
	2. với mỗi .
Câu 4. Giải hệ phương trình sau: 
Câu 5. Trên bảng ô vuông 3x3, người ta đặt một số viên sỏi sao cho mỗi ô vuông có không quá một viên sỏi. Với mỗi cách đặt ta cho tương ứng với số điểm bằng tổng số : các hàng, các cột, các đường chéo chứa số lẻ các viên sỏi trên đó. Bảng không có sỏi ứng với 0 điểm.
	a) Tồn tại hay không cách đặt sỏi sao cho ô chính giữa bảng không có sỏi và số điểm tương ứng với cách đặt đó là 8.
	b) Chứng minh rằng số cách đặt sỏi với điểm số là một số chẵn bằng số cách đặt sỏi với điểm số là một số lẻ.
ĐÁP ÁN
Câu 1: Cho dãy số xác định bởi 
	Đặt . Tính .
Ta có 
Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được .
Từ (1) suy ra 
Do đó 
Ta chứng minh .
Thật vậy, ta có 
Suy ra là dãy tăng, ta có 
Giả sử ngược lại bị chặn trên và là dãy tăng nên thì . khi đó 
 ( vô lý). Suy ra không ị chặn trên, do đó .
Vậy 
Câu 2: . Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm AC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD giao với phân giác góc tại E nằm trong tam giác ABC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE giao với BD tại F( khác B), AF giao với BE tại I. CI giao với BD tại K. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABK.
Gọi D’ là trung điểm của AB và M là trung điểm cạnh BC.
 Ta có D’ nằm trên đường tròn ngoại tiếp . Do tính đối xứng nên suy ra , suy ra 
Suy ra I nằm trên phân giác góc hay BI là tia phân giác góc . (!)
Ta có: , suy ra cân tại D và tam giác AFC vuông tại F.
Do nên I thuộc trục đẳng phương của đường tròn đường kính AC và đường tròn ngoại tiếp . Từ đó CI đi qua giao điểm thứ hai J của hai đường tròn này.
Ta có nên .
Suy ra . Từ đó 
Ta có (đpcm)
Câu 3: Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây:
	1. với mọi .
	2. với mỗi .
 và bởi vì nên 
Dùng quy nạp theo n=1,2, ta CM được 
Cố định ta có 
Xét dãy ta có : . 
Vậy 
Vậy 
Kết hợp ( 1) và (3) ta được 
Từ (2) . Kết hợp ( 2) và (4) ta được . 
Thử lại ta thấy đúng.
Câu 4. Giải hệ phương trình sau: 
Điều kiện 
Từ phương trình thứ nhất suy ra và cùng dấu mà nên . Ta có từ phương trình thứ nhất suy ra mà (1;0) không thỏa mãn pt thứ 2 nên .
Thay vào phương trình thứ hai ta được 
Đặt ta được 
Từ đó tìm được 
Câu 5. Trên bảng ô vuông 3x3, người ta đặt một số viên sỏi sao cho mỗi ô vuông có không quá một viên sỏi. Với mỗi cách đặt ta cho tương ứng với số điểm bằng tổng số : các hàng, các cột, các đường chéo chứa số lẻ các viên sỏi trên đó. Bảng không có sỏi ứng với 0 điểm.
	a) Tồn tại hay không cách đặt sỏi sao cho ô chính giữa bảng không có sỏi và số điểm tương ứng với cách đặt đó là 8.
	b) Chứng minh rằng số cách đặt sỏi với điểm số là một số chẵn bằng số cách đặt sỏi với điểm số là một số lẻ.
a
b
c
d’
0
d
c’
b’
a’
a) Giả sử ô chính giữa không có sỏi và điểm số của cách đặt là 8. Như vậy 3 hàng , 3 cột và hai đường chéo đều có một số lẻ viên sỏi. Gọi a, b, c, d là số sỏi trong các ô như hình vẽ , . Khi đó các ô đối xứng với a, b, c, d qua tâm sẽ có số sỏi tương ứng là sao cho 
a
b
c
0
d
 Từ đó suy ra một trong hai tổng hoặc là một số chẵn. Khi đó dòng thứ nhất hoặc dòng thứ ba có tổng số sỏi là một số chẵn, mâu thuẫn với giả thiết ban đầu. 
Vậy không tồn tại cách đặt sỏi thỏa mãn điều kiện bài toán.
b) Ta gọi hai cách đặt sỏi là liên hợp với nhau nếu ô trên cùng bên trái của chúng có số sỏi khác nhau và các ô còn lại tương ứng có số sỏi như nhau.
a
b
c
f
e
d
g
h
i
a’
b
c
f
0
d
g
h
i
 ( B) (B’)
Như vậy, các cách đặt sỏi chia thành từng cặp đôi một liên hợp với nhau. 
Xét hai cách đặt liên hợp với nhau (B) và (B’). Tổng số sỏi ở dòng 1, cột 1 và 1 đường chéo cả hai bảng đôi một khác nhau về tính chẵn lẻ. Các dòng, cột và đường chéo còn lại của hai bảng có số sỏi như nhau. Do đó điểm số của ( B) và (B’) khác nhau 3 đơn vị, suy ra số điểm của ( B) và (B’) có tính chẵn lẻ khác nhau.
Vậy hai cách đặt liên hợp với nhau, một cách xếp có điểm số chẵn, cách đặt còn lại có điểm số là một số lẻ suy ra điều phải chứng minh.