Đề thi học sinh giỏi TP. Hà Nội Năm học: 2009-2010 môn Toán 9

đề thi học sinh giỏi TP. Hà Nội
Năm học: 2009-2010
(Sưu tầm: Thái Tuấn)
Câu1(4 điểm): 
Tính GT biểu thức A =(x31+x3-x2010 )2009 khi x =
Câu 2(4 điểm):
1) Giải phương trình : x4+3x3-2x2-6x+4=0 (1)
2) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất : 
Câu3(4 điểm):
1) Giải bất phương trình : 
2) Tìm GTLN của P =, với x,y,z >0 thoả mãn xyz=1.
Câu4(6 điểm):
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) . D là điểm bất kì trên cung nhỏ AC( D khác A và C). Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống AB,AC. Gọi P là giao điểm của MN và BC. 
a) Chứng minh DP và BC vuông góc với nhau.
b) Đường tròn (I;r) nội tiếp tam giác ABC. Tính IO với R = 5cm,r =1,6cm.
Câu 5(2 điểm):
Tìm các số nguyên dương x,y để C là một số nguyên dương C = 
Gợi ý lời giải- kết quả
GV: Thái Tuấn (THCS Thạch Đà-Mê Linh-Hà Nội)
Câu1: 
Tính x = 
Câu2:
a) x =0 không là nghiệm của phương trình.
Xét x
Giải hệ thống 2 phương trình thu được 4 nghiệm của PT(1) như sau:{1;-2; -1
b) Dễ thấy (x;y) là nghiệm thì (y;x) cũng là nghiệm của hệ. Để hệ có nghiệm duy nhất thì
x =y. Từ hệ suy ra athoả mãn(sau khi thử lại).
Câu3:
a) BPT đã cho tương đương với: .
b) áp dụng BĐT quen thuộc: với a,b dương ,luôn có: a3+b3 (Dấu = khi a=b>0).
Kết quả PMax =1 khi x=y=z =1.
Câu4:(các bạn tự vẽ hình)
a) Nhiều cách làm. Xin giới thiệu một cách dễ nghĩ đến. 
Kẻ DP, vuông góc với BC. Suy ra P, ,M,N thẳng hàng(Đường thẳng Sim son).Dẫn tới P và P, trùng nhau ( do MN và BC chỉ có một giao điểm duy nhất).
b) Dễ chứng minh được:
 OI2 = R2-2Rr (Hệ thức Ơ-le). Từ đó suy ra kết quả.
Câu 5: 
C thuộc Z thì y2C = x2y+x+y +.
* x=1 thì y =3.
* x>1. Thì 2. Thay các GT này lần lượt vào(*) để tìm GT x nguyên và lớn hơn 1.