Đề thi học sinh giỏi Toán - Trường THCS Dân Hoà

Trường THCS Dân Hoà
 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN
 Thời gian: 150 phút
Câu 1: (6điểm)
Cho P =
a, Rút gọn P
b, Tính giá trị của P với x=
c, Tìm giá trị lớn nhất của P
C©u 2: (4 điểm)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh -=3
 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + y2 = xy + x + y.
Câu 3: ( 4 điểm)
 a) Cho và . Chứng minh rằng : .
b) Cho a,b,c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . CMR P=++
C©u 4: (5đ) 
 Cho đường tròn tâm (O) đường kính CD = 2R . Điểm M di động trên đoạn OC . Vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính MD . Gọi I là trung điểm của đoạn MC , đường thẳng qua I vuông góc với CD cắt (O) tại E và F . Đường thẳng ED cắt (O’) tại P .
Chứng minh 3 điểm P, M , F thẳng hàng.
Chứng minh IP là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Tìm vị trí của M trên OC để diện tích tam giác IPO’ lớn nhất.
C©u 5:(1đ) 
Tìm các số nguyên x, y ,z thỏa mãn :
 6
......Hết.......
 Người duyệt đề Người ra đề
 Nguyễn Thị Hà Trần Thị Thuý Hoa
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HSG TOÁN 9 
Câu 1: (6 điểm)
 Cho P=
a, Rút gọn P (2 điểm)
 Điều kiện để P có nghĩa là : x ; y; xy	 (0,5 đ)
Ta có :
 P=
= 	 (0,5đ)
= 
= (0,5đ)
= (0,5đ)
b, Tính giá trị của P với x= (1,5điểm)
Ta thấy x= thoả mãn điều kiện x0 (0.25đ) 
Ta có : x===4-2=(-1)2 (0,5đ)
Thay x vào P = , ta có:
P= = (0,5đ) 
=== (0,25đ) 
c, Tìm giá trị lớn nhất của P (2 điểm)
 Với mọi x0, ta có:
 	 (0,25đ)
 x+1 (0,5đ)
 1 ( vì x+1>0) 0.25đ)
 (0,25đ)
 P 
Vậy giá trị lớn nhất của P =1 0.25đ
 x=1 (0,5đ)
C©u 2: (4 điểm)
a)(2 điểm)
ĐK : -3x6 	(0,25đ)
Đặt =t >0	(0,25đ)
Suy ra t2=3+x+6-x+2=	(0,25đ)
Ta có pt: t-=3t2-2t-3=0 t=-1 (loại) hoặc t=3 (0,25đ)
t=3 suy ra =3...x=-3 hoặc x=6	 	(0,5đ)
b)
(2đ)
x2 + y2 = xy + x + y Û (x - y)2 + (x - 1)2 + (y - 1)2 = 2.
Vì x, yÎ Z nên :
x+y
0
0
0
0
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
x-1
1
-1
1
-1
0
0
1
-1
0
0
1
-1
y-1
1
1
-1
-1
1
-1
0
0
1
-1
0
0
(x;y)
(2;2)
(0;0)
(1;0)
(2;1)
(1;2)
(0;1)
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0, 5đ
Câu 3:(4đ)
a) (2đ)
Từ 
 (1) 	(1đ)
Từ (2) (0,5đ)
Từ(1) và (2) 	(0,5đ)
b)(2đ)
Do a,b,c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn a,b,c>0	 (0,25đ)
Theo bÊt ®¼ng thøc COSI: a2+bc 2a (0,5đ)
 T­¬ng tù: ; (0,5đ)
Suy ra + +++ (0,25đ)
+ +
(0,5đ)
C©u 4: (5đ)
Vẽ hình và chứng minh câu a 2đ
M
D
O/
F
E
P
C
I
Do P thuộc (O’) mà MD là đường kính suy ra góc MPD vuông hay MP vuông góc với ED. Tương tự CE vuông góc với ED. Từ đó PM//EC. (1) 
Vì EF là dây cung, CD là đường kính mà CD E F nên I là trung điểm của E F. Lại có I là trung điểm của CM nên tứ giác CE M F là hình bình hành. Vậy FM//CE.(2). Từ (1) và (2) suy ra P, M , F thẳng hàng. (2đ)
Ta có EDC =EFP (góc có cạnh tương ứng vuông góc). Do tam giác PO’D cân tại O’ nên EDC = O’PD. Lại có EFP =IPF (do tam giácIPF cân) vậy 
I PF=O’PD mà FPD =1v, suy raIPO’ =900 nên IP O’P. Hay IP là tiếp tuyến của (O’). (2đ)
Vì O’M =1/2 MD và IM =1/2MC nên IO’ =1/2 CD vậyIO’ =R. áp dụng định lý Pytago có PI2 + PO’2 = IO’2 =R2 (không đổi ) . Mặt khác 4S2 =PI2.PO’2 ( S là diện tích của tam giác IO’P) . Vậy 4S2 Max hay S Max khi PI = PO’ =R mà DM =2 PO’ do đó 
 DM = R , Vậy M cách D một khoảng bằng R. (1đ ) 
Câu 5 :(1điểm) 
 Đặt 0.25đ
Xét tích : 
 0,5đ
 0,5đ
Vậy (x, y , z) = (1,1,1) =(-1,-1,-1) là cần tìm. 	0,25đ
Học sinh làm theo cách khác mà vẫn đúng thì cho điểm tối đa.