Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 - Trường thcs Yên Bái

đề thi học sinh giỏi lớp 9
Giáo viên: Trần thị Yên
 Đơn vị: Trường THCS Yên Bái
Câu 2 : (2 điểm) Cho P = 
a. Rút gọn P 
b.Tìm giá trị lớn nhất của P.
c. Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị là số nguyên 
Câu 1.(4đ) Cho A=
Rút gọn A
Tìm x để A có giá trị nguyên
Câu 2 : (2 điểm) Cho P = 
a. Rút gọn P 
b.Tìm giá trị lớn nhất của P.
c. Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị là số nguyên 
câu 2Câu 2 : (2 điểm) Cho P = 
a. Rút gọn P 
b.Tìm giá trị lớn nhất của P.
c. Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị là số nguyên 
Câu 2 : (2 điểm) Cho P = 
a. Rút gọn P 
b.Tìm giá trị lớn nhất của P.
c. Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị là số nguyên 
 1)(4đ) Cho hệ phương trỡnh 
a) Giải hệ khi m= (1 điểm).
b) Xỏc định giỏ trị của m để hệ cú nghiệm duy nhất (x;y) thoả món điều kiện x > y. (1 điểm).
 2) (2đ) Giải phương trình sau: : ( x2 + 1)( y2 + 4)( z2 + 16) = 64xyz
Câu3: (3đ) . Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: y2 = - 2(x6- x3y - 32)
Câu 4: (2 điểm)
	Cho hình chữ nhật ABCD,AB= 2BC.Trên cạnh BC lấy điểm E, tia AE cắt đường thẳng CD ở F.Chứng minh rằng :
 Câu 6. (5đ) Cho nửa đường tròn(O) đường kính AB và một điểm M trên nửa đường tròn đó (MA; B). N là điểm đối xứng với O qua AM.
Chứng minh tứ giác OANM là hình thoi
Gọi P; Q; Rlà trọng tâm của các tam giác MAB; MAN; NAO. Tứ giác OPQR là hình gì?
Chứng minh rằng khi M di động trên nửa đường tròn thì PQ luôn đi qua một điểm cố định
Đáp án: 
Câu 1. a) đk A= (2đ)
b) A= nguyên khi 2 (-2) x = 0; 1; 9; 16 (2đ)
câu 2: 1) a) Khi m=,hệ (I) trở thành (0,5đ)
 (0,5đ)
	 Vậy hệ (I) cú nghiệm duy nhất (x;y)=(5;6) (0,5đ)
 b)Giải hệ (I) tỡm được (1đ)
	 (1đ)
	 (0,5đ)
2) (2đ) Ta có x2 +1 2x , y2 + 4 4y, z2 + 16 8z (1đ)
=>( x2 + 1)( y2 + 4)( z2 + 16) 64xyz
Nên ( x2 + 1)( y2 + 4)( z2 + 16) = 64xyz khi 
 (1đ)
 Câu3) (3đ): Ta cú: : y2 = - 2(x6- x3y - 32) x6+(y-x3)2 = 64 (0,75đ)
 => x6 ≤ 64 => -2≤ x ≤2 do x Z => x {-1; -2; 1; 0; 1; 2} (0,75đ)
 Xột cỏc trường hợp (1,25đ)
+ x = 2 => (y - x3)2= 0 => y = 8
+ x = 1 => (y - x3)2= 63 => y Z => pt này khụng cú nghiệm nguyờn
+ x = 0 => (y - x3)2= 4 => y = 8 và y = - 8
+ x = - 1 => (y - x3)2= 63 => yZ => pt này khụng cú nghiệm nguyờn
+ x = -2 => (y - x3)2= 0 =>y = - 8
Vậy nghiệm nguyên của phương trỡnh là: (0;8); (0;-8); (2;8); (-2;-8). (0,25đ)
Câu 4(3đ)
F
E
K
D
C
B
A
Kẻ AK	AF 	(0,5đ)
	(g.g) (0,75đ)
Suy ra 	(0,25đ)
Hay 	 (0,5đ)
Áp dụng hệ thức lượng đối với tam giỏc vuụng AKF,ta cú :
	(0,5đ)
	Suy ra 	
	Hay 	(0,5đ)
I
R
Q
P
.
O
A
B
M
N
H
Câu 5(4đ) 
ON AM tại H và HN=HO (0,5đ)
 (O đối xứng với N qua AM)
HA = HM (đk vuông góc với dây)(0,5đ)
Vậy OANM là hình thoi (2 đường chéo
Vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường) (0,5đ)
OPQR là hình bình hành vì QR//=AN ; OP = OM QR// = OP (1đ)
NQ=2QH ; HP = 2PB PQ//NB(0,5đ)
Xét tam giác BON ta thấy: =. Mà O; B cố định nên I cố định (0,5đ)
Vậy đường thẳng PQ luôn đi qua điểm I cố định. (I nằm trên AB cách A một khoảng bằng AB (0,5đ)