Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm học 2012 - 2013 Trường Thcs Phổ Văn

TRƯỜNG THCS PHỔ VĂN
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đấ̀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8
NĂM HỌC 2012 - 2013
Thời gian: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
ĐỀ
Câu 1: (5 điểm)
a) Chứng tỏ rằng giỏ trị của biểu thức sau khụng phụ thuộc vào biến x 
 (x – 1)4 – x2(x2 +6) +4x(x2+1)
b) Phân tích đa thức thành nhân tử:
 x3 – 6x2 +11x -6
Câu 2: (5 điểm)
 a) Chứng minh rằng ( x2 + y2 + z2)2 = 2( x4 + y4 + z4) biết rằng x + y + z = 0
 b) Tìm x , biết : 
Câu 3: (3 điểm):
 Cho biểu thức A = 
a) Rút gọn biểu thức A 
b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên ? 
c) Tìm giá trị lớn nhất của A 
Câu 4:(7 điểm)
 Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC > AB) đường cao AH . Trên tia HC lấy HD = HA 
 Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E .
Chứng minh AE = AB
Gọi M là trung điểm của BE . Tính góc AHM 
TRƯỜNG THCS PHỔ VĂN
ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8
NĂM HỌC 2012 - 2013
Thời gian: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
ĐÁP ÁN
Cõu
Nội dung
Điểm
1
a) (x – 1)4 – x2(x2 +6) +4x(x2+1)
 = x4- 4x3 + 6x2 - 4x +1 – x4 - 6x2 + 4x3 + 4x 
 = 1
Vậy với mọi giá trị của x biểu thức đã cho khụng phụ thuộc vào biến x
b) x3 – 6x2 +11x - 6 
 = x3 – x2 – 5x2 +5x + 6x – 6
 = x2(x – 1) -5x( x -1) + 6( x – 1)
 = (x -1) ( x2 -5x + 6)
 = (x -1)( x – 2)(x -3) 
1,5
1,0
1,5
1,0
2
Ta có : x + y + z = 0 x = -(y + z) 
 x2= [-(y + z)]2
 x2= y2+ z2 + 2xz
 x2- y2- z2 = 2xz
 (x2- y2- z2)2 = (2xz)2
 x4+ y4 + z4 -2x2y2 -2x2z2 +2y2z2 = 4x2z2
 x4+ y4 + z4 = 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2
 x4+ y4 + z4+ x4+ y4 + z4 = x4+ y4 + z4+ 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2
 2(x4+ y4 + z4) = ( x2 + y2 + z2)2 
b) 
x=-1001.
1,0
1,0
0,5
1,0
0,5
0,5
0,5
3
A = 
 =
 = 
 = 
Muốn A nhận giá trị nguyên thì x2 +1 Ư(3) = {-3,-1 , 1 , 3}
Nếu x2 +1 = - 3 không có giá trị nào của x thỏa mãn
Nếu x2 +1 = -1 không có giá trị nào của x thỏa mãn 
Nếu x2 +1 = 1 x = 0 thì A = 3
Nếu x2 +1 = 3 x2 = 2 x = thì A = 1
Vậy tập hợp các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên là: {-,0 ,}
A= nhận giá trị lớn nhất khi x2 +1 có giá trị nhỏ nhất .
 Mà x2 +1 1 với mọi x R
Tức là x2 +1= 1 là nhỏ nhất khi đó A = 
Nếu x2 +1 = 1 x = 0 
Vậy khi x = 0 Thì A đạt giá trị nhỏ nhất là 3
1,0
1,0
1,0
4
CM: AE = AB
 Kẻ EF AH 
 Tứ giác HDEF là hình chữ nhật
EF = HD mà HD = AH (gt)
 EF = AH
Xét HBA và FAE có :
 AH = EF 
 cùng phụ với 
Do đó HBA = FAE ( g –c –g)
 AE = AB
b)Tính 
 Ta có BAE vuông tại A AM = 
 BDE vuông tại D DM = 
 Do đó : AM = DM 
Xét AHM và DHM có :
 AM = MD 
 AH = HD
 HM là cạnh chung
Do đó AHM = DHM ( c-c-c)
Vậy = 450
2,0
2,0
1,0
1,0
1,0