Đề thi học sinh giỏi THCS vòng 2 huyện Bình Xuyên năm học 2008-2009 Môn: Toán

Ubnd huyÖn B×nh Xuyªn
Phßng Gi¸o dôc vµ §µo t¹o
®Ò chÝnh thøc
®Ò thi häc sinh giái thcs vßng 2
n¨m häc 2008-2009
m«n: to¸n
Thêi gian: 150 phót (Kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Câu 1. Cho hai số a, b có tổng bằng 1 và tích bằng (). Chứng minh rằng là số nguyên chia hết cho 5 với mọi số nguyên dương n.
Câu 2. Biết rằng các số a, b, c thảo mãn: . 
Hãy tính giá trị của biểu thức .
Câu 3. 
Với những giá trị nào của k thì hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y: vô nghiệm.
Giải phương trình .
Câu 4. Cho x, y, z là các số thực thoả mãn . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Câu 5. Cho tam giác cân ABC (BA=BC) nội tiếp đường tròn đường kính BD. Hai điểm E và F di chuyển trên cạnh AC sao cho EFAC (E nằm giữa F và C).
Chứng minh rằng FH=EC ( với H là giao điểm của AC và BD).
Đường thẳng qua F vông góc với AC cắt cạnh AB tại K. Chứng minh rằng tam giác DEK là tam giác vuông.
----------------------------Hết------------------------------
Ubnd huyÖn B×nh Xuyªn
Phßng Gi¸o dôc vµ §µo t¹o
H­íng dÉn chÊm thi häc sinh giái thcs vßng 2
n¨m häc 2008-2009
m«n: to¸n
A. Hướng dẫn chung:
	-Dưới đây chỉ là tóm tắt của một cách giải, bài làm của học sinh có cách giải khác đáp án, nếu đúng các giám khảo vận dụng thang điểm của hướng dẫn để cho điểm.
	-Bài làm của học sinh đúng đến đâu, các giám khảo cho điểm đến đó.
	-Bài toán hình học (câu 5) không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không cho điểm.
	-Điểm toàn bài là tổng số điểm các ý của 5 câu, không làm tròn.
B. Đáp án và thang điểm. 
Câu
Nội dung cần trình bày
Điểm
1
2,0đ
Theo đề bài ta có và 
Với n=1 ta có là số nguyên chia hết cho 5.
0,5
Giả sử với ta có là số nguyên chia hết cho 5. Tức là là số nguyên chia hết cho 5. Ta phải chứng minh là số nguyên chia hết cho 5.
0,25
Thật vậy, ta có vì và nên hay 
0,75
Theo giả thiết quy nạp là những số nguyên chia hết cho 5 suy ra là số nguyên chia hết cho 5. Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh.
0,5
2
1,5đ
Điều kiện 
0,25
Từ đề cho ta có ; ; 
0,5
Do đó suy ra 
0,25
Do nên suy ra . Thay vào (*) ta được và từ đó tính được 
0,25
Các giá trị này thoả mãn điều kiện và đề bài. Vậy 
0,25
3.a)
1,25đ
Từ phương trình (2) ta có (3)
Từ phương trình (1) và (3) ta có phương trình 
0,5
Từ (3) và (4) ta thấy hệ cho vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (4) vô nghiệm hay 
0,5
Với hệ cho trở thành hệ này vô nghiệm
Vậy là giá trị duy nhất cần tìm.
0,25
3.b)
1,25đ
Điều kiện 
0,25
Xét hai khả năng:
+ Nếu , viết phương trình về dạng phương trình này vô nghiệm vì vế trái âm còn vế phải không âm.
0,25
+ Nếu viết phương trình cho về dạng , bình phương hai vế ta được 
 (vì do )
 (thỏa mãn điều kiện )
0,5
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
0,25
4
1,0đ
Điều kiện x>23, y>1, z>2008 
Đặt theo điều kiện và giả thiết của đề bài ta có a, b, c là các số thực dương và a.b.c=1.
0,2
Từ a.b.c=1 do đó 
Từ đó có 
0,2
Thực hiện tương tự ta có ; 
0,2
Khi đó ta có suy ra dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
0,2
Do đó ta có dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi suy ra x=24; y=2 và z=2009 (Thỏa mãn điều kiện bài toán). Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức L là 1 có được khi và chỉ khi x=24; y=2 và z=2009.
0,2
5a)
1,0đ
Tam giác ABC cân tại B nội tiếp đường tròn đường kính BD suy ra BD là đường trung trực của AC nên 
0,25
Kết hợp với (gt) ta có 
0,25
+Nếu thì ta có đẳng thức cần chứng minh là đúng.
0,25
+Nếu F không trùng với A, từ giả thiết ta có A, F, H, E, C thẳng hàng theo thứ tự đó nên suy ra FH=EC.
0,25
5b)
2,0đ
Từ giả thiết ta có , DA=DC và 
0,25
+Nếu thì và ta suy ra được tam giác DEK vuông 
0,25
+Nếu F không trùng với A:
Vì KF//BH (do cùng vuông góc với AC) nên (do tam giác BAH đồng dạng với tam giác BDA) suy ra (do FH=CE, AD=DC) mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD) do vậy đồng dạng (c.g.c) (1) và (2).
0,75
Từ (2) suy ra (3)
0,25
Từ (1) và (3) suy ra đồng dạng (c.g.c) tam giác DEK vuông tại E (đpcm).
0,5