Đề thi học sinh giỏi thành phố lớp 9 năm học 2008 – 2009 môn: Toán

Sở Giáo dục đào tạo Kỳ thi HSG Thành phố lớp 9
 Hà Nội Năm học 2008 – 2009 
Môn : Toán
Ngày thi : 27 – 3 – 2009
Thời gian làm bài : 150 phút.
Câu I ( 4 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta đều có ( a3 + 5a) là số nguyên chia hết cho 6.
Cho A = . Tìm số dư trong phép chia A cho 7.
Câu II ( 4 điểm)
Chứng minh với x>0 và y>0. Xảy ra đẳng thức khi nào?
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P, biết
 với a>0 , b>0 và a+b≤4.
Câu III ( 4điểm)
Cho phương trình x + m -1 = m ( với x là ẩn số).
Giải phương trình khi m=3.
Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có nghiệm lớn hơn 1.
Câu IV ( 4 điểm)
Cho đường tròn (O;3) và điểm A cố định ( A khác O). Chứng minh :
Nếu HK là đường kính của đường tròn (O;3) thì AH≥ 3 hoặc AK ≥ 3.
Tồn tại hình thang cân MNPQ nội tiếp đường tròn (O;3) thoả mãn đồng thời hai điều kiện MA + NA + PA + QA >12 và MN + NP +PQ +QM <12.
Câu V ( 4 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và C là điểm chính giữa của cung AB. Lấy điểm M tuỳ ý trên cung BC ( M khác B). Gọi N là giao điểm của hai tia OC và BM; H, I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AO, AM ; K là giao điểm các đường thẳng BM và HI.
Chứng minh các điểm A, H, K và N cùng nằm trên một đường tròn.
Xác định vị trí của điểm M trên cung BC ( M khác B) sao cho AK =.