Đề thi học sinh giỏi năm học môn thi: Toán lớp 9

PHềNG GD&ĐT THANH OAI
 ĐỀ thi HỌC SINH GIỎI
 NĂM HỌC: ..............
 MễN THI: TOÁN – LỚP 9 
Đề chớnh thức
Thời gian làm bài: 150 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
Ngày thi: ...... thỏng ..... năm ...........
Cõu I. (4,0 điểm): 
	Cho biểu thức P = 
Rỳt gọn P
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P và giỏ trị tương ứng của x.
Cõu 2. (5,0 điểm)
	a) Giải phương trỡnh: 
	b) Tỡm cỏc số hữu tỷ x, y thỏa món: 
	c) Tỡm số tự nhiờn n để là số nguyờn tố.
Cõu 3. (3,0 điểm)
1. Cho cỏc số thực a, b, c thỏa món đồng thời hai điều kiện:
	 i. 
	 ii. 	
 Chứng minh rằng: .
2. Tỡm tất cả cỏc số nguyờn tố p sao cho là số hữu tỷ.
Cõu 4. (6,0 điểm)
 1. Cho tam giỏc ABC nhọn, nội tiếp trong đường trũn (O). Lấy điểm P trờn cung AB khụng chứa C của đường trũn (O) (P khỏc A và B). Đường thẳng qua P vuụng gúc với OA cắt cỏc đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại Q, R; đường thẳng qua P vuụng gúc với OB cắt cỏc đường thẳng AB, BC theo thứ tự tại S, T.
a) Giả sử tam giỏc ABC cõn tại C. Tỡm vị trớ của P trờn cung AB để tổng PA + PB + PC đạt giỏ trị lớn nhất.
b) Chứng minh rằng PQ2 = QR.ST.
 2. Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú BAC = 108o. Chứng minh là số vụ tỉ.
Cõu 5. (2,0 điểm)
a) Cho ba số dương a, b và c thỏa . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
	b) Giả sử là cỏc số nguyờn dương lớn hơn hoặc bằng 2, đụi một khỏc nhau và thỏa món . Tồn tại hay khụng số nguyờn dương n sao cho tổng cỏc số dư của cỏc phộp chia n cho 22 số bằng 2012?
-------------------Hết------------------
(Đề thi gồm 01 trang)
đáp án và biểu điểm
Cõu I. (4,0 điểm): 
	- ĐKXĐ : 
1. Với thỡ 
P = =
 = = 2đ
2. Với thỡ P = = 
 giỏ trị nhỏ nhất của P = 4 x = 4 ( thỏa món đkxđ) 2đ
Bài 2:
	a) Ta cú:
Đặt , pt trở thành: 0,5đ
 0,5đ
Với 
Vậy pt cú nghiệm duy nhất . 0,5đ
	b) 
ã Nếu thay vào hệ ta được: (hệ vụ nghiệm) 0,5đ
ã Nếu , đặt hệ trở thành: 0,5đ
 Suy ra và 
	 (do )
 Suy ra .
Vậy hệ pt cú nghiệm . 0,5đ
	c) 
ã Xét thì A = 1 không phải số nguyên tố; 0,5đ
ã Xét thì A = 3 là số nguyên tố. 0,5đ
ã Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + 1
= n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1) 0,5đ 
Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 - 1, suy ra (n3)670 – 1) chia hết cho n2 + n + 1
Tương tự: (n3)667 – 1 chia hết cho n2 + n + 1
Vậy A chia hết cho n2 + n + 1 > 1 nên A là hợp số. Số tự nhiên cần tìm n = 1. 0,5đ
Bài 3:
	a) 
Từ ii) suy ra: 
Kết hợp với i) suy ra: 0,5đ
 0,5đ
Nếu .
 Từ cỏc BĐT 0,5đ
Suy ra: , kết hợp với (1) suy ra 
Do đú: (mõu thuẫn với đk )
Vậy . 0,5đ
	b) 
 là số hữu tỷ 
 0,5đ
. Thế vào (1) ta được
Giải pt tỡm được (loại) và 
Với . 
Vậy 0,5đ
Bài 4:
1. 
 0,25đ
M
a) Gọi giao điểm PC với AB là M. 
DCPA ~ DCAM (g.g) 0,5đ
DCPB ~ DCBM (g.g) 
Suy ra: (do CA = CB)
 0,25đ
Ta cú: (khụng đổi) 0,5đ
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi P đối xứng với C qua O. 0,5đ
b) Do tam giỏc OAB cõn, nờn (1)
Do nờn (2)
Tương tự, cũng cú (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra cõn. 0,5đ
Theo chứng minh trờn, và . 
Do đú 
Suy ra (4) 
Do 0,5đ
nờn 
mà suy ra 
 (do tam giỏc PSQ cõn tại P)
Do đú (5) 0,5đ
Từ (4) và (5) suy ra 
B
Từ đú, do nờn điều phải chứng minh. 0,5đ
2. 
A
x
C
D
Kẻ tia Cx sao cho CA là phõn giỏc của BCx , tia Cx cắt đường thẳng AB tại D. 0,5đ
Khi đú ta cú: DCA = ACB = 36o ịDDCA cõn tại C, DBCD cõn tại B ị AB = AC = DC. 0,5đ
Theo tớnh chất đường phõn giỏc trong tam giỏc BCD ta cú:
, mà BC = BD 0,5đ
Vậy là số vụ tỉ. 0,5đ
Bài 5:
a) Ta cú : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) Û
Ta cú: a2 + b2 + c2 = (a + b + c) (a2 + b2 + c2) = a3 +b2a+ b3 + bc2 + c3 + ca2 + a2b + b2c + c2a. 0,25đ
Áp dụng bất đẳng thức Cụ – Si: 
a3 + b2a ≥ 2a2b ; b3 + bc2 ≥ 2b2c ; c3 + ca2 ≥ 2c2a , dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
suy ra: a2 + b2 + c2 = a3 +b2a+ b3 + bc2 + c3 + ca2 + a2b + b2c + c2a ≥ 3(a2b + b2c + c2a)
suy ra: 0,25đ
Đặt : t = a2 + b2 + c2, ta cú : 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2 = 1 Û t ≥ , dấu “=” xảy ra khi a = b = c = .
Ta được : A = .
Áp dụng bất đẳng thức Cụ – Si : dấu “=” xảy ra khi : t = . 0,25đ
Mặt khỏc : 
Suy ra: A dấu “=” xảy ra khi : a2 + b2 + c2 = và a = b = c suy ra: a = b = c = .
Vậy A đạt giỏ trị nhỏ nhất bằng , khi a= b = c = . 0,25đ
	b) Ta chứng minh khụng tồn tại n thỏa món đk đề bài.
Giả sử ngược lại tồn tại n. 
Nhận thấy: Trong một phộp chia, số dư luụn bộ hơn số chia
Do đú tổng cỏc số dư trong phộp chia n cho khụng vượt quỏ 
 0,25đ
Và tổng cỏc số dư trong phộp chia n cho khụng vượt quỏ:
Suy ra tổng cỏc số dư trong phộp chia n cho cỏc số khụng thể vượt quỏ . 0,25đ
Kết hợp với giả thiết tổng cỏc số dư bằng 2012, suy ra khi chia n cho 22 số trờn thỡ cú 21 phộp chia cú số dư lớn nhất và một phộp chia cú số dư nhỏ hơn số chia 2 đơn vị.
Suy ra tồn tại k sao cho thỏa món điều kiện trờn. Khi đú một trong hai số chia hết cho , số cũn lại chia hết cho . Suy ra (Vụ lớ) 0,25đ
Suy ra điều giả sử là sai.
Vậy khụng tồn tại số nguyờn dương n thỏa món. 0,25đ