Đề thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 môn: Toán lớp 8

 Phũng GD- ĐT 	 Đề thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009
 	Can Lộc	 Mụn: Toỏn lớp 8
Thời gian làm bài 120 phỳt
Bài 1. Cho biểu thức: A = 
a) Rỳt gọn biểu thức A
b) Tỡm x để A - 
c) Tỡm x để A đạt giỏ trị nhỏ nhất.
Bài 2: a) Cho a > b > 0 và 2( a2 + b2) = 5ab
 Tớnh giỏ trị của biểu thức: P = 
 b) Cho a, b, c là Độ dài 3 cạnh của một tam giỏc. Chứng minh rằng a2 + 2bc > b2 + c2
Bài 3: Giải cỏc phương trỡnh:
a) 
b) (12x+7)2(3x+2)(2x+1) = 3
Bài 4: Cho tam giỏc ABC; điểm P nằm trong tam giỏc sao cho , kẻ PH . Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh.
a) BP.KP = CP.HP
b) DK = DH
Bài 5: Cho hỡnh bỡnh hànhABCD, vẽ đường thẳng d cắt cỏc cạnh AB, AD Tại M và K, cắt đường chộo AC Tại G. Chứng minh rằng: 
 UBND Thành phố Huế 	Kỡ thi chọn Học sinh giỏi thành phố Huế
	Phũng giỏo dục & đào tạo	 Lớp 8 THCS - Năm học 2007 - 2008
 	Mụn : Toỏn 
 Đề chớnh thức 	Thời gian làm bài: 120 phỳt
Bài 1: (2 điểm) 
Phõn tớch đa thức thành nhõn tử:
Bài 2: (2Điểm) 
Giải phương trỡnh: 
Bài 3: (2 điểm)
Căn bậc hai của 64 cú thể viết dưới dạng như sau: 
Hỏi cú tồn tại hay khụng cỏc số cú hai chữ số cú thể viết căn bậc hai của chỳng dưới dạng như trờn và là một số nguyờn?
Tỡm số dư trong phộp chia của biểu thức cho đa thức .
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giỏc ABC vuụng Tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC). Trờn tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuụng gúc với BC Tại D cắt AC Tại E.
Chứng minh rằng hai tam giỏc BEC và ADC đồng dạng. Tớnh Độ dài Đoạn BE theo .
Gọi M là trung điểm của Đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giỏc BHM và BEC đồng dạng. Tớnh số đo của gúc AHM
Tia AM cắt BC Tại G. Chứng minh: .
HếT
Phũng Giỏo dục - Đào tạo
TRựC NINH
*****
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2008 - 2009
Mụn: Toỏn8
(Thời gian làm bài: 120 phỳt, Khụng kể thời gian giao đề)
Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức
 a) Tỡm điều kiện của x, y để giỏ trị của A được xỏc định.
 b) Rỳt gọn A.
 c) Nờu x; y là cỏc số thực làm cho A xỏc định và thoả món: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hóy tỡm tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A?
Bài 2 (4 điểm):
a) Giải phương trỡnh :
b) Tỡm cỏc số x, y, z biết :
 x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 
 và 
Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n thỡ n5 và n luụn cú chữ số tận cựng giống nhau. 
Bài 4 (7 điểm): Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
 a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và 
 b) Cho và . Tớnh SEBC?
 c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trờn cạnh AC thỡ tổng BM.BD + CM.CA cú giỏ trị khụng đổi.
 d) Kẻ. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh .
Bài 5 (2 điểm): a) Chứng minh bất đẳng thức sau: (với x và y cựng dấu) 
 b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P = (với )
Đề khao sỏt chất lượng học sinh giỏi
Bài 1: (4 điểm)
	1, Cho ba số a, b, c thỏa mãn , Tớnh .
	2, Cho ba số x, y, z thỏa mãn . Tỡm giỏ trị lớn nhất của .
Bài 2: (2 điểm)
	Cho đa thức với . Chứng minh rằng tồn tại số nguyờn để 	.
Bài 3: (4 điểm)
	1, Tỡm cỏc số nguyờn dương x, y thỏa mãn .
	2, Cho số tự nhiờn , b là tổng cỏc chữ số của a, c là tổng cỏc chữ số của b, d là 	tổng cỏc chữ số của c. Tớnh d.
Bài 4: (3 điểm)
	Cho phương trỡnh , Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm dương.
Bài 5: (3 điểm)
Cho hỡnh thoi ABCD cú cạnh bằng đường chộo AC, trờn tia đối của tia AD lấy điểm E, đường thẳng EB cắt đường thẳng DC Tại F, CE cắt à Tại O. Chứng minh đồng dạng, Tớnh .
Bài 6: (3 điểm)
	Cho tam giỏc ABC, phõn giỏc trong gúc A cắt BC Tại D, trờn cỏc Đoạn thẳng DB, DC lần 	lượt lấy cỏc điểm E và F sao cho . Chứng minh rằng: .
Bài 7: (2 điểm)
	Trờn bảng cú cỏc số tự nhiờn từ 1 đến 2008, người ta làm như sau lấy ra hai số bất kỡ và 	thay bằng hiệu của chỳng, cứ làm như vậy đến khi cũn một số trờn bảng . Cú thể làm để trờn bảng chỉ cũn lại số 1 được khụng? Giải thớch.
..........................................HếT...........................................
Mụn Toỏn (150 phỳt Khụng kể thời gian giao đề)
Cõu 1(5điểm) Tỡm số tự nhiờn n để :
A=n3-n2+n-1 là số nguyờn tố.
B= cú giỏ trị là một số nguyờn .
 D=n5-n+2 là số chớnh phương . (n
Cõu 2: (5 điểm) Chứng minh rằng :
	a) biết abc=1
	b) Với a+b+c=0 thỡ a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2
	c) 
Cõu 3: (5 điểm) Giải cỏc phương trỡnh sau:
	a) 
	b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9
	c) x2-y2+2x-4y-10=0 với x,y nguyờn dương.
Cõu 4: (5 điểm).Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD) ,O là giao điểm hai đường chộo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA Tại E ,cắt BC Tại F.
Chứng minh rằng : diện tớch tam giỏc AOD bằng diện tớch tam giỏc BOC.
 Chứng minh : 
Gọi K là điểm bất kỡ thuộc OE.Nờu cỏch dựng đường thẳng đi qua K và chia đụI diện tớch tam giỏc DEF.
Mụn : Toỏn ( 120 phỳt Khụng kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1 đ)
 Cho biết a-b=7 Tớnh giỏ trị của biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab
Bài 2: (1 đ)
 Chứng minh rằng biểu thức sau luụn luụn dương (hoặc õm) với mọi giỏ trị của biến đó cho :
 -a2+a-3
Bài 3: (1 đ)
 Chứng minh rằng Nờu một tứ giỏc cú tõm đối xứng thỡ tứ giỏc đó là hỡnh bỡnh hành.
Bài 4: (2 đ)
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
Bài 5: (2 đ) 
 Chứng minh rằng cỏc số tự nhiờn cú dạng 2p+1 trong đó p là số nguyờn tố , chỉ cú một số là lập phương của một số tự nhiờn khỏc.Tỡm số đú.
Bài 6: (2 đ)
 Cho hỡnh thang ABCD cú đỏy lớn AD , đường chộo AC vuụng gúc với cạnh bờn CD, .Tớnh AD Nờu chu vi của hỡnh thang bằng 20 cm và gúc D bằng 600.
Bài 7: (2 đ)
 Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử:
a3m+2a2m+am
x8+x4+1
Bài 8: (3 đ) Tỡm số dư trong phộp chia của biểu thức :
 (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1 
Bài 9: (3 đ) Cho biểu thức :
 C=
Tỡm điều kiện đối với x để biểu thức C được Xỏc định.
 Rỳt gọn C.
Với giỏ trị nào của x thỡ biểu thức C được xỏc định.
Bài 10 (3 đ) 
 Cho tam giỏc ABC vuụng Tại A (AC>AB) , đường cao AH. Trờn tia HC lấy HD =HA, đường vuụng gúc với BC Tại D cắt AC Tại E.
Chứng minh AE=AB
Gọi M trung điểm của BE . Tớnh gúc AHM.
------------------------------------------------Hết---------------------------------------------------------------
Bài
Nội dung
 điểm
1.1
Cho ba số a, b, c thỏa món , Tớnh .
2,00
Ta cú 
0,50
0,50
1,00
1.2
Cho ba số x, y, z thỏa mãn . Tỡm giỏ trị lớn nhất của .
2,00
Dấu = xảy ra khi 
Vậy giỏ trị lớn nhất của B là 3 khi x = y = z = 1
1,25
0,50
0,25
2
Cho đa thức với . Chứng minh rằng tồn tại số nguyờn để 	.
2,00
Với x = 2008 chọn 
Suy ra 
1,25
0,50
0,25
3.1
Tỡm cỏc số nguyờn dương x, y thỏa món .
2,00
 ă
 ă x, y nguyờn dương do vậy x + 5, 3y + 1 nguyờn dương và lớn hơn 1. 
ăThỏa món yờu cầu Bài Toỏn khi x + 5, 3y + 1 là ước lớn hơn 1 của 49 nờn cú: 
Vậy phương trỡnh cú nghiệm nguyờn là x = y = 2.
0,75
0,50
0,75
3.2
Cho số tự nhiờn , b là tổng cỏc chữ số của a, c là tổng cỏc chữ số của b, d là tổng cỏc chữ số của c. Tớnh d.
2,00
 mà 
Từ (1) và (2) suy ra d = 8.
1,00
0,75
0,25
4
Cho phương trỡnh , Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm dương.
3,00
Điều kiện: 
m = 1phương trỡnh cú dạng 0 = -12 vụ nghiệm.
 phương trỡnh trở thành 
Phương trỡnh cú nghiệm dương 
Vậy thỏa mãn yờu cầu Bài Toỏnkhi .
0,25
0,75
0,25
0,50
1,00
0,25
5
Cho hỡnh thoi ABCD cú cạnh bằng đường chộo AC, trờn tia đối của tia AD lấy điểm E, đường thẳng EB cắt đường thẳng DC Tại F. Chứng minh đồng dạng, Tớnh .
3,00
ă đồng dạng (g-g)
ă đồng dạng (c-g-c)
ă đồng dạng 
 mà 
1,00
1,00
1,00
6
Cho tam giỏc ABC, phõn giỏc trong gúc A cắt BC Tại D, trờn cỏc Đoạn thẳng DB, DC lần lượt lấy cỏc điểm E và F sao cho. Chứng minh rằng: .
3,00
ăKẻ EHAB Tại H, FKAC Tại K
 đồng dạng (g-g)
ăTương tự 
ă (đpcm).
1,00
1,25
0,50
0,25
7
Trờn bảng cú cỏc số tự nhiờn Từ 1 đến 2008, người ta làm như sau lấy ra hai số bất kỡ và thay bằng hiệu của chỳng, cứ làm như vậy đến khi cũn một số trờn bảng thỡ dừng lại. Cú thể làm để trờn bảng chỉ cũn lại số 1 được khụng? Giải thớch.
2,00
Khi thay hai số a, b bởi hiệu hiệu hai số thỡ Tớnh chấtt chẳn lẻ của tổng cỏc số cú trờn bảng khụng đổi.
Mà ; do vậy trờn bảng khụng thể chỉ cũn lại số 1.
1,00
1,00
1
2Bài 1
Cõu
Nội dung
 điểm
1.
2,0
1.1
(0,75 điểm)
0.5
0,5
1.2
(1,25 điểm)
0,25
0,25
0,25
2s.
2,0
2.1
 (1)
+ Nờu : (1) s (thỏa mãn điều kiện ).
+ Nờu : (1) 
 (cả hai đều khụng bé hơn 1, nờn bị loại)
Vậy: Phương trỡnh (1) cú một nghiệm duy nhất là .
0,5
0,5
2.2
 (2)
Điều kiện để phương trỡnh cú nghiệm: 
 (2)
 và .
Vậy phương trỡnh đã cho cú một nghiệm 
0,25
0,5
0,25
Phũng Giỏo dục - Đào tạo
TRựC NINH
*****
đỏp ỏn và hướng dẫn chấm thi Học sinh giỏi Năm học 2008 - 2009
Mụn: Toỏn8
Bài 1: (4 điểm)
Điều kiện: x y; y0 	(1 điểm)
A = 2x(x+y)	(2 điểm)
Cần chỉ ra giỏ trị lớn nhất của A, Từ đú tỡm được tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A	
+ Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1 
 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2
 A = 2 – (x – y + 1)2 (do (x – y + 1) (với mọi x ; y) A 2. (0,5đ)
+ A = 2 khi 
+ A = 1 khi Từ đú, chỉ cần chỉ ra được một cặp giỏ trị của x và y, chẳng hạn: 
+ Vậy A chỉ cú thể cú 2 giỏ trị nguyờn dương là: A = 1; A = 2	(0,5 điểm)
Bài 2: (4 điểm)
 a) 
	(1 điểm)
	(0,5 điểm)
	(0,5 điểm)
b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0
(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0	(0,75 điểm)
x2009 = y2009 = z2009	(0,75 điểm)
Thay vào điều kiện (2) ta cú 3.z2009 = 32010
 z2009 = 32009
 z = 3
Vậy x = y = z = 3	(0,5 điểm)
Bài 3 (3 điểm)
Cần Chứng minh: n5 – n 10
- Chứng minh : n5 - n 2
 n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) 2 (vỡ n(n – 1) là tớch của hai số nguyờn liờn tiếp)	(1 điểm)
- Chứng minh: n5 – n 5
 n5 - n = ... = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5)
 = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) 
lý luận dẫn đến tổng trờn chia HếT cho 5	(1,25 điểm)
- Vỡ ( 2 ; 5 ) = 1 nờn n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10
Suy ra n5 và n cú chữ số tận cũng giống nhau.	(0,75 điểm)
Bài 4: 6 điểm
Cõu a: 2 điểm
* Chứng minh EA.EB = ED.EC	(1 điểm)
- Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg)	0,5 điểm
- Từ đó suy ra 	0,5 điểm
* Chứng minh 	(1 điểm)
- Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc)	0,75 điểm
- Suy ra 	0,25 điểm
Cõu b: 1,5 điểm
- Từ = 120o = 60o = 30o	0,5 điểm
- Xét EDB vuụng Tại D cú = 30o
	 ED = EB 	0,5 điểm
- Lý luận cho Từ đó SECB = 144 cm2	0,5 điểm
Cõu c: 1,5 điểm
- Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 điểm
- Chứng minh CM.CA = CI.BC	0,5 điểm
- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 cú giỏ trị khụng đổi	 0,5 điểm
Cỏch 2: Cú thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2
Cõu d: 2 điểm
- Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 	0,5 điểm
	0,5 điểm
- Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc)
	1 điểm
Bài 5: (2 điểm)
vỡ x, y cựng dấu nờn xy > 0, do đú (*) 
(**). Bất đẳng thức (**) luụn đỳng, suy ra bđt (*) đỳng (đpcm) (0,75đ)
 Đặt 
 	(0,25đ)	
 Biểu thức đó cho trà thành P = t2 – 3t + 3 
	P = t2 – 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1	(0,25đ)
- Nờu x; y cựng dấu, theo c/m cõu a) suy ra t 2. t – 2 0 ; t – 1 > 0 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2 x = y (1) (0,25đ)
- Nờu x; y trỏi dấu thỡ và t < 0 t – 1 < 0 và t – 2 < 0 
 > 0 P > 1 	(2)	(0,25đ)
- Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x 0 ; y 0 thỡ luụn cú P 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pm=1 khi x=y
Kiểm tra chất lượng Học sinh giỏi Năm học 2008 – 2009
đỏp ỏn , biểu điểm, hướng dẫn chấm 
Mụn Toỏn8
Nội dung
 điểm
Bài 1 (3 điểm)
Cú a4+=
1,0
Khi cho a cỏc giỏ trị Từ 1 đến 30 thỡ:
Tử thức viết được thành 
(12+1+)(12-1+)(32+3+)(32-3+).(292+29+)(292-29+)
0,5
Mẫu thức viết được thành
 (22+2+)(22-2+)(42+4+)(42-4+)(302+30+)(302-30+)
0,5
Mặt khỏc (k+1)2-(k+1)+ =.=k2+k+
0,5
Nờn A=
0,5
Bài 2: 4 điểm
ý a: 2 điểm
-Cú ý tưởng tỏch, thờm bớt hoặc thể hiện được như vậy để sử dụng bước sau
0,5
-Viết được dạng bỡnh phương của một hiệu
0,5
- Viết được bỡnh phương của một hiệu
0,5
- lập luận và kết luận được 
0,5
ý b: 2 điểm
Phõn tích được tử thức thành nhõn Tử
1,0
Rỳt gọn và kết luận được 
1,0
Bài 3 : 4 điểm
*Từ 2a + b ≤ 4 và b ≥ 0 ta cú 2a ≤ 4 hay a ≤ 2
1,0
 Do đó A=a2 - 2a - b ≤ 0
0,5
Nờn giỏ trị lớn nhất của A là 0 khi a=2và b=0
0,5
* Từ 2a + 3b ≤ 6 suy ra b ≤ 2 - 
1,0
Do đó A ≥ a2 – 2a – 2 + = ()2 - ≥ - 
0,5
Vậy A cú giỏ trị nhỏ nhất là - khi a = và b = 
0,5
Bài 4 : 3 điểm
- Chọn ốn và đạt điều kiện được 
0,25
- Biểu thị được mỗi đại lượng theo ốn và số liệu đã biết(4 đại lượng)
0,25 x 4
- lập được phương trỡnh
0,25
- Giải được phương trỡnh
0,5
- đối chiếu và trả lời được thời gian của 1 ụ tụ 
0,5
- lập luận , Tớnh và trả lời được thời gian của ụ tụ cũn lại 
0,5
Bài 5 : 6 điểm
ý a : 2 điểm
Phũng giỏo dục và đào tạo kim bảng
Kiểm tra chất lượng Học sinh giỏi Năm học 2008 – 2009
Mụn Toỏn lớp 8
Thời gian 150 phỳt – Khụng kể thời gian giao đề
Đề chớnh thức
Bài 1 (3 điểm)Tớnh giỏ trị biểu thức
Bài 2 (4 điểm)
	a/Với mọi số a, b, c khụng đồng thời bằng nhau, hãy Chứng minh
a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc 0
	b/ Cho a + b + c = 2009. Chứng minh rằng
Bài 3 (4 điểm). Cho a 0, b 0 ; a và b thảo mãn 2a + 3b 6 và 2a + b 4. Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = a2 – 2a – b
Bài 4 (3 điểm). Giải Bài Toỏnbằng cỏch lập phương trỡnh
	Một ụ tụ đi Từ A đến B . Cùng một lúc ụ tụ thứ hai đi Từ B đến A vơí vởn tốc bằng vởn tốc của ụ tụ thứ nhất . Sau 5 giờ chúng gổp nhau. Hỏi mỗi ụ tụ đi cả quãng đường AB thỡ mờt bao lõu?
Bài 5 (6 điểm). Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn, cỏc điểm M, N thứ tự là trung điểm của BC và AC. Cỏc đường trung trực của BC và AC cắt nhau Tại O . Qua A kẻ đường thẳng song song với OM, qua B kẻ đường thẳng song song với ON, chúng cắt nhau Tại H
Nối MN, AHB đồng dạng với tam giỏc nào ?
Gọi G là trọng tõm ABC , Chứng minh AHG đồng dạng với MOG ?
Chứng minh ba điểm M , O , G thẳng hàng ?