đề thi học sinh giỏi năm học 2006 – 2007 Môn : toán. Lớp 8 Thời gian : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề ) Câu 1 ( 2 điểm ) : Chứng minh rằng : 1- Câu 2 ( 2 điểm ) : Chứng minh rằng nếu a + b + c = ab + bc + ca thì a = b = c Câu 3 ( 2 điểm ) : phân tích thành nhân tử A = a + b + c – 3abc Câu 4 ( 2 điểm ) : Hai chiếc xe máy cùng khởi hành một lúc tư hai địa điểm A và B. Xe thứ nhất đi từ A đến B rồi quay lại A ngay, xe thứ hai đi từ B đến A rồi củng quay lại B ngay. Hai xe gặp nhau lần thứ hai tại điểm C cách A là 10km. Tính quảng đường AB biết rằng vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ hai tỉ lệ với . Câu 5 ( 2 điểm ) : Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm của hai đường chéo. Một đường thẳng đi qua O và song song với hai đáy, cắt AD ở E và cắt BC ở F. Chứng minh OE = OF. Đáp án và biểu điểm Môn : toán 8 Câu 1 : 2 điểm Xét vế phải, ta thấy có tổng của n số nghịch đảo từ đến , đó chính là hiệu giữa tổng của 2n số nghịch đảo đầu tiên và tổng của n số nghịch đảo đầu tiên. Nếu đặt : S S (0,5 điểm) thì vế phải chính là S- S ( 0,5 điểm) Còn vế trái khi đó là : (0,5 điểm) = S- () = S- S ( 0,5 điểm) Vậy đẳng thức được chứng minh. Câu 2 : 2 điểm Theo giả thiết, ta có : a2+b2+c2 – ab – bc – ca = 0 (0,25 điểm) Nhân 2 vế với 2 và nhóm các số hạng lại ta được : (a2 – 2ab + b2) + (b2 – 2bc + c2) + (c2 – 2ca + a2) = 0 hay (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 ( 1 điểm) Vế trái là tổng của 3 số bình phương chỉ bằng 0 khi từng hạng tử bằng 0 tức là a = b = c (đpcm) (0,75 điểm) Câu 3 : 2 điểm Dùng hằng đẳng thức a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b), ta có: a + b + c – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) Câu 4 : 2 điểm A 10km C B Gọi quảng đường AB là x (km) Đk: x>10 Đặt thời gian kể từ lúc hai xe xuất phát đến lúc 2 xe gặp nhau lần thứ 2 là t(giờ). Vận tốc xe thứ nhất là v , xe thứ 2 là v Khi 2 xe gặp nhau lần thứ hai thì : + Xe thứ nhất đi được quảng đường là x + x – 10 = 2x – 10 (km) + Xe thứ hai đi được quảng đường là x + 10 (km) Ta có : v = v = Theo bài ra ta có : hay 4x = 110 => x = 27,5 Câu 5 : 2 điểm D C E F O A B Xét DAOB và đ/t CD//AB , ta có : áp dụng t/c của đẳng thức tỉ lệ : (1) áp dụng hệ quả của định lý Talét vào các DADC và DACB ta có Trong DADC thì OE//AB => (2) Trong DACB thì OF//AB => (3) Từ (1), (2), (3) => .
Tài liệu đính kèm: