Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 - Đề số 1

ĐỀ SỐ 1 
Thời gian: 150 phút
Câu I. ( 4 điểm). Giải phương trình
Câu II. (4 điểm)
1. Cho biểu thức: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.
2. Cho a>0; b>0; c>0. Chứng minh bất đẳng thức
Câu III. (4,5 điểm)
1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và số đó lớn hơn tổng các bình phương các chữ số của nó là 1.
2. Cho phương trình: x2 –(m+1)x+2m-3 =0 (1)
+ Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
+ Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm bằng 3.
Câu IV (4 điểm)
Cho hình thang cân ABCD, (AB//CD; AB > CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Góc ACD = 600; gọi E; F; M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng IA; ID; BC.
- Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp được trong một đường tròn.
- Chứng minh tam giác MEF là tam giác đều.
Câu V. (3,5 điểm)
Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có các mặt là tam giác đều. Gọi O là trung điểm của đường cao SH của hình chóp.
Chứng minh rằng: góc AOB = BOC = COA = 900