Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Có đáp án)

đề thi học sinh giỏi môn TOáN 9
(Thời gian làm bài 150 phút)
1: Xác định x R để biểu thức :A = 
 là một số tự nhiên
2(8). Giải phương trình
3(8) (1đ) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
 A =
4 : Cho biểu thức M =
Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M
Tìm x để M = 5
Tìm x Z để M Z.
5:
 Tìm x, y nguyên dương thoã mãn phương trình
 3x2 +10 xy + 8y2 =96
tìm x, y biết
 / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = 3
6:
a. Cho các số x, y, z dương thoã mãn + + = 4
Chứng ming rằng: + + 
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = (với x ) 
7: Cho hình vuông ABCD. Kẻ tia Ax, Ay sao cho = 45
Tia Ax cắt CB và BD lần lượt tại E và P, tia Ay cắt CD và BD lần lượt tại F và Q
Chứng minh 5 điểm E; P; Q; F; C cùng nằm trên một đường tròn
S= 2 S
Kẻ đường trung trực của CD cắt AE tại M. Tính số đo góc MAB biết = 
8: 
 Cho ba số a, b , c khác 0 thoã mãn: ; Hãy tính P = 
9: Cho đường tròn (O;R) và một điểm A sao cho OA = R. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Một góc éxOy = 450 cắt đoạn thẳng AB và AC lần lượt tại D và E.
	Chứng minh rằng:
 DE là tiếp tuyến của đường tròn ( O ).
đáp án môn toán 9
A =(0.5đ)
	A là số tự nhiên -2x là số tự nhiên x = 
	(trong đó k Z và k 0 )	(0.5đ)
2b.(lop8) Giải PT: 
x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
x2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3)
x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)
x2 + 11x + 30 = (x + 5)(x + 6)
Trong đó
TXĐ = phương trình trở thành:
 Vậy PT đã cho có nghiệm x =2; x = -10
Bài 3(lop8) (1đ) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
 A đạt giá trị nhỏ nhất là -1 hay x = A = . A đạt GTLN là 4 
 Bài 1:(2đ) M = 
 a.ĐK 0,5đ
 Rút gọn M =
Biến đổi ta có kết quả: M = 0,5đ
 M = 
 0,5đ
c. M = 
 Do M nên là ước của 4 nhận các giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; 4 0,5đ
 do 
Bài 2 (2đ)
 a. 3x2 + 10xy + 8y2 = 96
 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96
 (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96 
 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96
 (x + 2y)(3x + 4y) = 96 0,5đ
 Do x, y nguyên dương nên x + 2y; 3x + 4y nguyen dương và 3x + 4y > x + 2y 0,5đ
 mà 96 = 25. 3 có các ước là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 được biểu diễn thành tích 2 thừa số không nhỏ hơn 3 là: 96 = 3.32 = 4.24 = 6. 16 = 8. 12
Lại có x + 2y và 3x + 4y có tích là 96 (Là số chẵn) có tổng 4x + 6y là số chẳn do đó
 Hệ PT này vô nghiệm 0,5đ
 Hoặc
 Hoặc Hệ PT vô nghiệm
Vậy cấp số x, y nguyên dương cần tìm là (x, y) = (4, 1)
 b. ta có /A/ = /-A/ 
 Nên /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/ (1)
 mà /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = 3 (2)
Kết hợp (1 và (2) ta có / x - 2006/ + / y - 2007/ (3)
 (3) sảy ra khi và chỉ khi
Bài 3
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ
 Với mọi a, b thuộc R: x, y > 0 ta có 
(a2y + b2x)(x + y)
a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy a2xy + 2abxy + b2xy 0,5đ
a2y2 + b2x2 2abxy
a2y2 – 2abxy + b2x2 0
(ay - bx)2 0 (**) bất đẳng thức (**) đúng với mọi a, b, và x,y > 0
Dấu (=) xảy ra khi ay = bx hay 
áp dung bất đẳng thức (*) hai lần ta có
Tương tự 
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có:
 ( Vì )
 b, 
Ta có: 
Vì (x - 2006)2 0 với mọi x 
x2 > 0 với mọi x khác 0 
Bài 4
Vẽ hình đúng, rõ ràng chính xác. 0,5đ
a. nội tiếp; = 900 à góc AQE = 900 à gócEQF = 900
Tương tự góc FDP = góc FAP = 450
à Tứ giác FDAP nội tiếp góc D = 900 à góc APF = 900 à góc EPF = 900 . 0,25đ
Các điểm Q, P,C luôn nhìn dưới 1góc900 nên 5 điểm E, P, Q, F, C cùng nằm trên 1 đường tròn đường kính EF 0,25đ
b. Ta có góc APQ + góc QPE = 1800 (2 góc kề bù) 	góc APQ = góc AFE 
 (góc A chung)
Góc AFE + góc EPQ = 1800 (2 góc đói tứ giác nội tiếp) 
 àTam giác APQ đồng dạng với tam giác AEF (g.g)
à 
góc CPD = góc CMD à tứ giác MPCD nội tiếp à góc MCD = góc CPD (cùng chắn cung MD)
Lại có góc MPD = góc CPD (do BD là trung trực của AC)
 góc MCD = góc MDC (do M thuộc trung trực của DC)
à góc CPD = gócMDC = góc CMD = gócMCD à tam giác MDC đều à góc CMD = 600
à tam giác DMA cân tại D (vì AD = DC = DM)
Và góc ADM =gócADC – gócMDC = 900 – 600 = 300
à góc MAD = góc AMD (1800 - 300) : 2 = 750
à gócMAB = 900 – 750 = 150
Bài 5
Đặt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c à x + y + z = 0 (vì 1/a + 1/b + 1/c = 0)
à x = -(y + z) 
Ta có: x3 + y3 + z3 – 3 xyz = -(y + z)3 + y3 + z3 – 3xyz
à-( y3 + 3y2 z +3 yz2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz .0 = 0
Từ x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0 à x3 + y3 + z3 = 3xyz
à 1/ a3 + 1/ b3 + 1/ c3 = 3 1/ a3 .1/ b3 .1/ c3 = 3/abc
Do đó P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) = abc.3/abc = 3
nếu 1/a + 1/b + 1/c =o thì P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = 3
Câu 4:	(4đ)
B
M
A
O
C
D
E
	a.áp dụng định lí Pitago tính được 
AB = AC = R ABOC là hình 
vuông (0.5đ)
Kẻ bán kính OM sao cho 
éBOD = éMOD
éMOE = éEOC (0.5đ)
Chứng minh DBOD = DMOD
	éOMD = éOBD = 900
Tương tự: éOME = 900
D, M, E thẳng hàng. Do đó DE là tiếp 
tuyến của đường tròn (O).	(1đ)