Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Có đáp án)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 
Thời gian: 150 phỳt( khụng kể thời gian giao đề)
Cõu1: ( 5đ) 
Cho biểu thức M =
Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M
Tìm x để M = 5
Tìm x Z để M Z.
Cõu: 2(2đ). Cho 4a2+b2=5ab với 2a>b>0.
Tớnh giỏ trị của biểu thức: 
Cõu 3(4đ)
Tỡm giỏ trị của biểu thức 
Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c ta cú 
Cõu: 4 (4đ)
Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử: x3+y3+z3-3xyz
Giải phương trỡnh : x4+2x3-4x2-5x-6=0
Cõu: 5 (5đ) Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đường chộo AC lớn hơn đường chộo BD. Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của B và D xuống đường thẳng AC.
Tứ giỏc BEDF là hỡnh gỡ vỡ sao?
Gọi CH và CK lần lượt là đường cao của tam giỏc ACB và tam giỏc ACD.Chứng minh rằng.
Tam giỏc CHK và tam giỏc ABC đồng dạng .
AB.AH+AD.AK=AC2 
ĐÁP ÁN
Cõu: 1(5đ)
 a) ĐK 0,5đ
 Rỳt gọn M = 0,5đ
Biến đổi ta cú kết quả: = 0,5đ
 = 1đ
b) 1đ 
 c) M = 0,5đ
 Do M nờn là ước của 4 nhận cỏc giỏ trị: -4;-2;-1;1;2;4 0,5đ 
 do 0,5đ
Cõu: 2 (2đ)
Phõn tớch được 4a2+b2=5ab thành (a-b)(4a-b)=0 0,5đ
 a=b hoặc 4a=b 0,5đ
Lập luận chỉ ra a=b (nhận) 4a=b (loại) 0,5đ
Tớnh được 0,5đ
Cõu: 3 (4đ)
a. Viết được 1,5đ
Lập luận min A = 2 khi x-2= 0 => x= 2 0,5đ 
b. biến đổi 
 2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca 0,5đ
 a2-2ab+b2+b2-2bc +c2 +c2 -2ca+a2 ≥0 0,5đ
 (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 ≥ 0 0,5đ
Lập luận => khẳng định 0,5đ
Cõu: 4 (4đ)
x3+y3+z3-3xyz
 = x3+3x2y+3xy2+y3+z3-3x2y-3xy2 -3xyz 0,5đ
 = (x+y)3+z3 –3xyz(x+y+z) 0,5đ
 = (x+y+z)(x2+2xy+y2+z2-xz-yz)-3xy(x+y+z) 0,5đ
 =(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx) 0,5đ
Giải phương trỡnh : x4+2x3-4x2-5x-6=0
 x4-2x3+4x3-8x2+4x2-8x + 3x-6=0 0,5đ 
 x3(x-2)+4x2(x-2)+4x(x-2)+3(x-2)=0 0,5đ
 (x-2)(x3+4x2+4x+3)=0 0,25đ
 (x-2)(x3+3x2+x2+3x+x+3) =0 0,25đ 
 (x-2)[x2(x+3)+x(x+3)+(x+3)]=0 0,25đ
B
A
F
E
D
K
C
H
 (x-2)(x+3)(x2+x+1) =0 0,25đ 
 Cõu: 5 (5đ) 
1. Chỉ ra Tam giỏc ABE = Tam giỏc CDF 0,5đ
 =>BE=DF . BE//DF cựng vuụng gúc với AC 0,25đ
 => BEDF là hỡnh bỡnh hành 0,25đ
2.a. Chỉ ra gúc CBH = gúc CDK 0,5đ
 => tam giỏc CHB đồng dạng với Tam giỏc CDK (g,g) 0,25đ
 0,25đ
 Chỉ ra CB//AD,CK vuụng gúc CB=> CK vuụng gúc CB 0,25đ
 Chỉ ra gúc ABC = gúc HCK ( cựng bự với BAD) 0,25đ
 Chỉ ra hay vỡ AB=CD 0,25đ
 Chỉ ra tam giỏc CHK đồng dạng tam giỏc BCA (c-g-c) 0,25đ
 b. chỉ ra tam giỏc AFD = tam giỏc CEB => AF=CE 0,5đ
 chỉ ra tam giỏc AFD đồng dạng với tam giỏc AKC 0,25đ
 => AD.AK=AF.AC => AD.AK=CE.AC (1) 0,5đ
 Chỉ ra tam giỏc ABE đồng dạng với tam giỏc ACH 0,25đ
 => AB.AH=AE.AC (2) 0,25đ
Cụng theo vế (1) và (2) ta được
 AD.AK+ AB.AH =CE.AC+ AE.AC =(CE+AE)AC=AC2 0,25đ 
Lưu ý: Học sinh làm cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa