Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2009-2010 (Có đáp án)

Đề thi học sinh giỏi năm học 2009-2010
Môn: Toán 7
Thời gian: 120 phút
Bài 1 (4 điểm)
a/ Tớnh:
 	A=
b/ Cho 3 số x, y, z là 3 số khỏc 0 thỏa món điều kiện: 
 	Hóy tớnh giỏ trị biểu thức:
 	B = .
Bài 2 (4 điểm)
a/ Tỡm x, y, z biết: 
b/ CMR: Với mọi n nguyờn dương thỡ chia hết cho 10.
Bài 3 (4 điểm) 
Một bản thảo cuốn sỏch dày 555 trang được giao cho 3 người đỏnh mỏy. Để đỏnh mỏy một trang người thứ nhất cần 5 phỳt, người thứ 2 cần 4 phỳt, người thứ 3 cần 6 phỳt. Hỏi mỗi người đỏnh mỏy được bao nhiờu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cựng nhau làm từ đầu đến khi đỏnh mỏy xong.
Bài 4 (6 điểm): 
Cho tam giỏc ABC, M là trung điểm của BC. Trờn tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA. Chứng minh rằng:
a/ AC=EB và AC // BE
b/ Gọi I là một điểm trờn AC, K là một điểm trờn EB sao cho: AI=EK. 
Chứng minh: I, M, K thẳng hàng.
c/ Từ E kẻ EHBC (H BC). Biết gúc HBE bằng 500; gúc MEB bằng 250, tớnh cỏc gúc HEM và BME ?
Bài 5 (2 điểm): 
Tỡm x, y N biết: 
Hướng dẫn chấm 2009-2010
Bài
ý
Nội dung
Điểm
1
4 điểm
a
+=+
=+===
2
b
Ta cú: 
Vậy B=8
0,5
0,5
0,5
0,5
2
4 điểm
a
Áp dụng tớnh chất 0
Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2
0,25
1,5
0,25
b
Ta cú: =
 = 10.(3n – 2n-1)
Vỡ 10.(3n – 2n-1) chia hết cho 10 với mọi n nguyờn dương
Suy ra điều phải chứng minh.
0,75
0,5
0,5
0,25
3
4điểm
Gọi số trang người thứ nhất, người thứ 2, người thứ 3 đỏnh mỏy được theo thứ tự là x,y,z. Trong cựng một thời gian, số trang sỏch mỗi người đỏnh được tỉ lệ nghịch với thời gian cần thiết để đỏnh xong 1 trang; tức là số trang 3 người đỏnh tỉ lệ nghịch với 5; 4; 6.
Do đú ta cú: . 
Theo tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau, ta cú:
	.
Vậy số trang sỏch của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba đỏnh được lần lượt là: 180, 225, 150.
0,5
1,0
0,75
0,75
0,75
0,25
4
6 điểm
a
b
c
(2 điểm)
 Xột và cú :
 AM = EM (gt )	
gúc=gúc (đối đỉnh)
BM = MC (gt )
Nờn: = (c.g.c) 
 AC = EB	
Vỡ = 
=> Gúc MAC bằng gúc MEB 
(2 gúc cú vị trớ so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE) 
Suy ra AC // BE . 
(2 điểm)
Xột và cú : 
AM = EM (gt)
= (vỡ ); AI = EK (gt )
Nờn ( c.g.c ). Suy ra = 	
Mà + = 180o (tớnh chất hai gúc kề bự)	
 + = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng 
 (1,5 điểm)
Trong tam giỏc vuụng BHE ( = 90o ) cú = 50o 
 = 90o - = 90o - 50o =40o 	(1.0đ)
 = - = 40o - 25o = 15o 	
 là gúc ngoài tại đỉnh M của 
Nờn = + = 15o + 90o = 105o 
(định lý gúc ngoài của tam giỏc) 
0,75
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
5
2 điểm
Ta cú: . 
Vỡ 	
	Vỡ và , là số chớnh phương nờn
	 hoặc hoặc .
+ Với 
+ Với (loại)
+ Với và 
Vậy 
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25