Đề thi học sinh giỏi môn Toán khối 10 năm học: 2015 - 2016

SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN KHỐI 10
 TRƯỜNG THPT HẢI AN Năm học: 2015 -2016 Thời gian làm bài: 150’ 
Bài 1(2 điểm)
 1. Tìm a và b để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng - 4 khi x = 1
 2. Tìm tập xác định của hàm số y = 
Bài 2(3 điểm) 
 1. Giải hệ phương trình:
 2. Tìm các giá trị của m để bất phương trình 
 nghiệm đúng với R.
 3. Tìm các giá trị của m để phương trình có 
 nghiệm thuộc [0;1].
Bài 3(3 điểm): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 4) và B(6; 0). 
 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và tạo với đường thẳng 
 (d): x - 3y + 2 = 0 một góc 450
 2. Viết phương trình đường thẳng k đi qua điểm A và tạo với hai trục toạ độ một 
 tam giác có diện tích bằng 2 (đvdt).
 3. Tìm điểm M trên đoạn OA, điểm N trên đoạn AB, điểm E và F trên đoạn
 OB sao cho tứ giác MNEF là một hình vuông.
Bài 4(2 điểm): Trong mặt phẳng cho ABC với BC = a, AC = b, AB = c và R là
 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi ha, hb, hc là các đường cao lần
 lượt qua các đỉnh A, B, C của ABC. CMR: 
 Bài 5(2 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 
------------------------------Hết------------------------------
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
 Số báo danh:................................................... Giám thị số 1:................................................... 
 Họ và tên HS:................................................... Giám thị số 2:................................................... 
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN KHỐI 10
Bài
ý
Sơ lược đáp án
Điểm
1
1
+)TH1 a = 0: Hàm số có dạng y = bx - 3 nên không thoả mãn bài toán--------------->
0,25 đ
+)TH2 a 0: Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng - 4 khi x = 1 ----------->
0,5 đ
 Giải hệ ta tìm được a = 1 và b = - 2 => ------------------------------->
0,25đ
2
0,25 đ
+)Hàm số xác định-->
0,5 đ
 ---->
0,25 đ
+)Kết hợp với điều kiện (1) ta được tập xá định của hàm số là: D = [- 4;0) ------------>
 2
1
0,25 đ
+)Ta thấy: x = y = 0 thoả mãn hệ đã cho
 Hệ không có nghiệm dạng (a; 0) hoặc (0; a) với a 0--------------------->
+)Với thì HPT đã cho 
0,5 đ
 Ta có: (2) Từ đây ta tìm được ------------>
+)Mặt khác từ (1) => x và y cùng dấu => x = 2y
 Thế x = 2y vào (1), ta được: y = / 2
0,25 đ
 KL: hệ đã cho có nghiệm là (0;0) hoặc (;) hoặc (-;-) -------------->
2
0,25 đ
+)Ta có: ------------------------>
0,25 đ
+)Ta thấy: với R 
 =>BPT đã cho nghiệm đúng với R với R---->
0,5 đ
KL: BPT đã cho nghiệm đúng với R ------------------------------------->
3
+)Đặt t = khi đó phương trình (2) có dạng: t2 + t -14 = m (*) 
0,5 đ
 Ta có: 
 =>PT đã cho có nghiệm x[0;1] PT (*) có nghiệm t[3;5]---------------------->
0,5 đ
+)Lập bảng biến thiên của hàm số f(t) = t2 + t -14 trên [3;5]
 Ta được các giá tri của m thoả mãn bài toán là -2m16 ----------------------------->
Câu
ý
Sơ lược đáp án
Điểm
 3
1
+)Gọi = (a;b) là VTPT của (ĐK: )
0,25 đ
 Theo giả thiết ta có: cos(,d) = cos450 ------------------>
+)
 Nếu b = 0 thì a = 0 mâu thuẫn với ĐK: 
0,25 đ
 => (*) ---------------------------------------->
0,25 đ
+)Với = -2 ta chọn a = 2 và b = -1 => Phương trình : 2x - y = 0------------------>
0,25 đ
+)Với ta chọn a = 1 và b = 2 => Phương trình : x + 2 y - 10 = 0 ------------>
2
+)Gọi giao điểm của đthẳng (k) với hai trục toạ độ là: E(a;0) và F(0;b) ĐK: ab0
 Phương trình (k): 
 Do (k) đi qua điểm A nên ta có: (*)
0,25 đ
 Mặt khác, ta có: = 2 ------------------------------------>
0,25 đ
+)Với ab = 4 thế vào (*) ta được vô nghiệm ---->
+) Với ab = - 4 thế vào (*) ta được 
x
y
O
B
F
A
E
M
N
H
6
4
2
0,5 đ
 => Phương trình của đường thẳng (k) là: hoặc ---------------->
3
+)Gọi H là hình chiếu của A trên OB.
 Ta thấy: 2 điểm E, F cùng thuộc trục Ox
 =>MN// Ox và MF// NE// AH
 => 
0,5 đ
 =>------------------------------------------------------->
 +)Mặt khác: M, N có toạ độ dương và đường thẳng OA có phương trình y = 2x 
0,25 đ
 => Điểm M có tung độ y = => Hoành độ của điểm M là x = -------------->
0,25 đ
 +)Vậy: M(;), F(;0), E(;0), N(;) ---------------------------------------->
 4
0,5 đ
+)->
+)Mà theo BĐT Cosi, ta có: 
0,5 đ
 => => Đpcm ----------->
 5
Chọn ; . Ta có: nên 
Dấu đẳng thức xảy ra khi cùng chiều khi đó x=0
Vậy GTNN của y là 2 khi x=0
 1đ