Đề thi học sinh giỏi môn Toán 12 - Trường THPT Nguyễn Gia Thiều

CỤM TRƯỜNG THPT GIA LÂM – LONG BIÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 
 TRƯỜNG THPT NGUYỄN GIA THIỀU Ngày thi 17 – 03 – 2012 
 Thời gian làm bài 120 phút 
Câu 1 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn 
 cosA cosB cosC 2 cosA.cosB + cosB.cosC + cosC.cosA   
Chứng minh rằng tam giác ABC đều. 
Câu 2 (4,0 điểm). Cho số tự nhiên k thoả mãn 2000k  . Chứng minh rằng 
1 1000 1001
2001 2001 2001 2001
k kC C C C   . 
Câu 3 (4,0 điểm). Cho dãy số  nu được xác định bởi 
1
1
1
2011
2011
.
n
n k
k
u
u u
n





 


với 1 2011n  
Hãy tính giá trị của tổng 1 2 3 2011...u u u u    . 
Câu 4 (4,0 điểm). Chứng minh phương trình 3 1 3x x  luôn có ba nghiệm thực phân biệt 
là 1 2 3, ,x x x . Giả sử 1 2 3x x x  , chứng minh 
2
2 32x x  . 
Câu 5 (4,0 điểm). Cho tứ diện ABCD, gọi G là trọng tâm tam giác BCD, M là điểm nằm 
trong miền tam giác BCD. Đường thẳng qua M và song song với AG cắt các mặt 
phẳng (ABC), (ACD), (ABD) theo thứ tự tại các điểm P, Q, R 
a. Chứng minh 
MP + MQ + MR
AG
 không đổi khi M chạy trong miền tam giác BCD 
b. Tìm vị trí điểm M để MP.MQ.MR đạt giá trị lớn nhất. 
- - - - - - - - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - - - - - - - - - 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 
Họ và tên thí sinh:  Số báo danh:  
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM 
Câu Yêu cầu Điểm 
1 
(4,0) 
 Có 
3
cosA cosB cosC > 1
2
   
1,0 
 Suy ra 2
3
(cosA cosB cosC) (cosA cosB cosC)
2
     
1,0 
 Lại có 2(cosA cosB cosC) 3(cosA.cosB cosB.cosC + cosC.cosA)    1,0 
 Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 1,0 
2 
(4,0) 
 1 1000 10012001 2001 2001 2001
k kC C C C   1 10012002 2002
kC C  (1) 
 Ta chứng minh (1) đúng với mọi số tự nhiên : 1000k k  (vì r n rn nC C
 , do đó (1) cũng đúng 
với mọi số tự nhiên :1000 2000k k  ) 
1,0 
 Xét dãy số hữu hạn  ku với 
1
2002
k
ku C
 , 1000k  . Suy ra 10011000 2002u C 1,0 
 Chứng minh dãy số hữu hạn  ku tăng, tức là chứng minh 1k ku u  1,0 
 Từ đó suy ra 1000ku u và suy ra điều phải chứng minh. 1,0 
3 
(4,0) 
 Từ giả thiết có 1 1 2. 2011.( ... )n nn u u u u      và 1 2 1( 1). 2011.( ... )n nn u u u u       
 Suy ra 1. ( 1). 2011.n n nn u n u u     hay 
 
1
2011 ( 1)
.n n
n
u u
n

 
  
1,0 
 Ta có 
1
2 1
1 1
1 12011 2011
3 2 1 2011
1
2011
2011 (1 1)
.
1
( 1) .2011. ( 1) .2011.2011 (2 1)
. ( 1) .2011.
2 ! ( 1)!
...
2011 ( 1)
.
n n n n
n n
n n
n n
u
u u
A A
u u u u C
n n
n
u u
n
 
 


 

   

    
       



   

1,0 
 1 2 3 2011...u u u u    = 2011  0 1 2 20102011 2011 2011 2011...C C C C    1,0 
 = 2011  0 1 2 2010 2011 20112011 2011 2011 2011 2011 2011...C C C C C C        = 2011. 
1,0 
4 
(4,0) 
 Chứng minh phương trình 3 1 3x x  (2), có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng (–2 ; 2) 1,0 
 Đặt 2.cosx t với 0 t   , tìm được nghiệm phương trình là 
8
9
t

 , 
4
9
t

 , 
2
9
t

 
1,0 
 Do 1 2 3x x x  , nên ba nghiệm của (2) là 1
8
2.cos
9
x

 , 2
4
2.cos
9
x

 , 3
2
2.cos
9
x

 
1,0 
 Chứng minh được 22 32x x  1,0 
5 
(4,0) 
 a. Vẽ hình và xác định đúng các điểm P, Q, R 1,0 
 Chứng minh được 
MP + MQ + MR
AG
 = MBC MCD MBD
BCD
3S 3S 3S
S
 
 = 3 
2,0 
 b. Áp dụng kết quả câu a, tìm được MP.MQ.MR đạt giá trị lớn nhất bằng AG3 khi M  G. 1,0 
Các cách giải khác mà đúng vẫn chấm điểm. Học sinh lập luận đầy đủ chặt chẽ mới cho điểm tối đa.