Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Trường THCS Hà Yên Năm học: 2010 – 2011 môn Toán

Phßng GD & §T Hµ Trung §Ò thi häc sinh giái líp 9
 Tr­êng THCS Hµ Yªn N¨m häc: 2010 – 2011
 M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót.
 ®Ò ®Ò xuÊt
Bµi 1 (3.0®) BiÕn ®æi ®¬n gi¶n c¸c biÎu thøc.
	a. A = 
	b. B = 
Bµi 2: (4.0®) Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc.
	a. C = 
	Víi a = b = 
	b. T×m c¸c c¨p sè (x,y) nguyªn d­¬ng tháa m·n 
 x2 - y2 = 2003
Câu 3 : ( 5điểm ) giải phương trình 
a) = 3 + 2
b)
Bài 4: (3.0 điểm)
	Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB. EF là dây cung di động trên nửa đường tròn sao cho E thuộc cung AF và EF = R. AF cắt BE tại H. AE cắt BF tại C. CH cắt AB tại I
a. Tính góc CIF.
b. Chứng minh AE.AC + BF. BC không đổi khi EF di động trên nửa đường tròn.
c. Tìm vị trí của EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích đó.
Bài 5 ( 3 điểm)
 Cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P. Chứng minh :
 9 
Bµi 6 (2®iÓm). Cho 3 sè a, b, c tháa m·n vµ a+b+c=3. Chøng 
minh .
®¸p ¸n vµ thang ®iÓm
C©u
§¸p ¸n
Thang ®iÓm
1
a. KÕt qu¶ k
b. 9
1.5 ®
1.5 ®
2
a. Rót gän : a - b
 TÝnh ®­îc kÕt qu¶: 2
b. x2 - y2 = 2003
(x - y)(x + y)=2003
=> x -y vµ x+ y lµ ­íc cïng dÊu cña 2003
Mµ ¦(2003) 
 v× x, y d­¬ng nªn x+y> x-y
Ta xÐt hai tr­êng hîp
1.0®
1.0®
0.25®
0.25®
0.25®
0.5®
0.5®
VËy cÆp sè (x,y) nguyªn d­¬ng th¶o m·n x2 -y2 = 2003
 lµ (x,y) = (1002,1002)
0.25®
3
4
5
6
a) §K 0 < x < 1 vµ x ¹ 
Khử mẫu ở vế trái ta được phương trình:
3() = 3 + 2
§Æt = t Þ ®k : 0 < t < 
Phương trình viết thành : t2 - 3 t + 2 = 0
Kết luận: x = 0 ; x = 1 là nghiệm của phương trình đã cho 
b) 
điều kiện: 
Đặt a =(x-1)2 ; b = x2 - 3
Phươngtrình trở thành:
Dấu = xãy ra khi khi đó x = 2
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2
A
B
E
F
C
H
I
- BE, AF là hai đường cao của DABC Þ CI là đường cao thứ ba hay CI^AB 
- ÞTứ giác IHFB nội tiếp Þ ÐHIF = ÐHBF hay ÐCIF = ÐEBF .
- DEOF đều nên ÐEOF = 600.
- Þ EF = 600 Þ ÐCIF = ÐEBF = 300.
- Chứng minh DACI đồng dạng với DABE 
- được: 
- Tương tự DBCI đồng dạng với DBAE được: 
- Cộng được: AE.AC + BF. BC = AB.AI + AB.BI =AB(AI + IB) = AB2 = const.
- Chứng minh DABC đồng dạng với DFEC.
- 
- Để lớn nhất Þ lớn nhất Þ CI lớn nhất. C chạy trên cung chứa góc 600 vẽ trên AB nên CI lớn nhất khi I º O Þ DCAB cân Þ EF // AB.
- Lúc đó 
Từ A và O kẻ AH BC
 OK BC (H, K BC)
 AH // OK
Nên (1)
 (2)
(1) , (2) 
Tương tự :
Nên (3)
Với ba số dương a,b,c ta chứng minh được:
 (a+ b + c) ( ) 9
Nên ( (4)
Từ (3) ,(4) suy ra :
 (đpcm)
V× vai trß cña a, b, c nh­ nhau, kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö: .
Khi ®ã v× vµ a+b+c=3 nªn ta cã 0 a1 
1 c2(c-1)(c-2)(c+3) 0
XÐt hai tr­êng hîp cña b
+NÕu 0 b1 . Khi ®ã ta cã 
Mµ a+b+7c-6 = (a+b+c)+6c-6 3+6.2-6=9
+ NÕu 1 b2 Khi ®ã ta cã (v× -6a0)
KÕt luËn (®pcm)
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
1®
1®
1®
0,5đ
0,5đ
1đ
1đ
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®