Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2016 - 2017

 PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ	 	ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
 Năm học 2016-2017
ĐỀ CHÍNH THỨC
	 	 Khóa ngày 21 tháng 10 năm 2016
 	Môn : TOÁN	 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (4 điểm) 
Cho biểu thức: P = 
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh P 0.
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng n3 - n chia hết cho 6 với mọi n Z.
Bài 3: (4 điểm) 
Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 1
a) Tính giá trị của biểu thức M = x(x + 2000) + y(y + 2000) + 2xy + 15
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = .
Bài 4: (3 điểm)
	Giải phương trình: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 = 0
Bài 5: (2 điểm)
	Tìm tất cả các số có 5 chữ số sao cho 
Bài 6: (5 điểm) 
Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. M là trung điểm của cạnh AB. Trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho hai đường thẳng MG và AH song song với nhau. 
Chứng minh: DH.GB = BM.DA
 Tính số đo góc .
----------------- HẾT-------------------
Lưu ý : Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ	 HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9
ĐỀ CHÍNH THỨC
	 NĂM HỌC 2016 - 2017
 	 Môn thi: TOÁN
 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) 
Bài 1 (4đ)
ĐKXĐ: x 
P = 
= 
= 
=
0,25
0,5
1,0
0,75
b) 
P= 	
0,5
0,5
0,5
Bài 2 (2đ)
P= n3 - n = n(n2 -1)
= n(n+1)(n-1)
Ta có n(n+1) 2 => P 2
 n(n+1)(n-1) 3=> P 3
Mà (2,3) = 1 => P 6
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 3
(4đ)
a) M = x(x + 2000) + y(y + 2000) + 2xy + 15
 = x2 + 2000x + y2 + 2000y + 2xy + 15
 = x2 + 2xy + y2 + 2000x + 2000y + 15
= (x +y)2 + 2000(x + y) + 15
= 12 + 2000.1+15 = 2016 
0,5
0,5
0,5
0,5
 b) P = = 1 + = 1 + 
 = 1 + = 1 + 
Ta có: x + y ó1 
 ó 1 xy 
 ó 
 P = 1 + 1+ 2.4=9
Vậy GTNN của P là 9 ó x = y = 
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
Bài 4
(3đ)
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 = 0
 ó	(x2 + 4x + x + 4)(x2 + 3x + 2x + 6) - 24 = 0	 ó (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24 = 0	 
Đặt t = x2 + 5x + 4 ta được phương trình:
 	 t(t + 2) - 24 = 0 
	 ó t2 + 2t - 24 = 0
 	 ó t2 - 4t + 6t - 24 = 0
 ó t(t - 4) + 6(t - 4) = 0
 ó (t - 4)(t + 6) = 0
 ó t = 4 hoặc t = -6
Với t = 4 ta được x2 + 5x + 4 = 4 ó x = 0; x = -5 	 
Với t = -6 ta được x2 + 5x + 4 = -6 ó x2 + 5x + 10 = 0
	 ó (x + )2 + = 0. Pt vô nghiệm.	 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0 hoặc x = -5	
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
Bài 5
(2đ)
Đặt x = , y = ta có = 1000x + y
với 10 x < 100, 0 y < 1000 (1)
Ta có: x3 = 1000x + y (2)
Từ (1),(2)=> 1000x x3 < 1000x+1000
 => 1000 x2 < 1000+ <1100
 => 31< x<33
Vậy x = 32 và x3 = 32768
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 6
(5đ)
a) DADH và DGBM có:
 = (=900)
 = ( cặp góc có cạnh tương ứng song song)
 => DADH DGBM (g-g)	
 => 	
 => DH.GB = BM.DA	
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
b) Ta có : DH.GB = BM.DA ( câu a) 
DMBO vuông cân tại M => BM = BO.	 
 DADO vuông cân tại O => AD = DO. 	
DH.GB = BM.DA = BO.. DO.=BO.DO	
 => mà = (=450)	
 => DODH DGBO (c-g-c)	 
 => = 	
 => + + =++(=1800) 	 
 => = = 450 	 
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.