Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS môn thi: Toán

	SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
	THÀNH PHỒ HỒ CHÍ MINH	CẤP THÀNH PHỐ
	_________________	KHÓA THI NGÀY 20/3/2017
	Môn thi: TOÁN
	ĐỀ THI CHÍNH THỨC	Thời gian làm bài: 150 phút
	(Đề thi gồm 01 trang)	(Không kể thời gian phát đề)
Bài 1. (3 điểm)
 Cho ba số a, b, c thỏa các điều kiện  a − b = 7, b − c = 3.
 Tính giá trị của biểu thức . 
Bài 2. (3 điểm)
 Giải phương trình:  
Bài 3. (3 điểm)
 Giải hệ phương trình:  
Bài 4. (4 điểm)
 1. Cho 2 số thực dương x, y thỏa điều kiện . Tìm giá trị lớn 
 nhất của biểu thức P = xy2
 2. Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình: (x + y)(x + 2y) = x + 5​
Bài 5. (5 điểm)
 1. Cho tam giác nhọn ABC có H là trực tâm.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AH 
 Đường phân giác trong góc A cắt MN tại K. Chứng minh rằng AK vuông góc với HK.
 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi AH, AD lần lượt là đường cao, đường 
 phân giác trong của tam giác ABC (H, DBC). Tia AD cắt (O) tại E, tia EH cắt (O) tại  
 F và tia FD cắt (O) tại K. Chứng minh rằng AK là đường kính của (O).​
Bài 6. (2 điểm)
 Trong tuần, mỗi ngày Nam chỉ chơi một môn thể thao. Nam chạy ba ngày một tuần nhưng 
 không bao giờ chạy trong hai ngày liên tiếp. Vào thứ Hai, anh ta chơi bóng bàn và hai ngày 
 sau đó anh ta chơi bóng đá. Nam còn đi bơi và chơi cầu lông, nhưng không bao giờ Nam 
 chơi cầu lông sau ngày anh ta chạy hoặc bơi.Hỏi ngày nào trong tuần Nam đi bơi?
HẾT
GỢI Ý
Bài 1. • Từ a − b = 7, b − c = 3 Þ a − c = 10, ta có: 
• 
Bài 2. • Điều kiên: x ³ –3
• 
• Tập nghiệm của (1) là 
Bài 3.   nên 3x và – 3y là nghiệm của phương trình X2 + 2X – 24 = 0 Û 
Bài 4. 1. • Với x, y > 0, ta có: . 
• Áp dụng bđt Cauchy, ta có 
• 
 2. • (x + y)(x + 2y) = x + 5​ 
• Với  x, y nguyên ta có bảng sau:
x + 2y – 2
1
3
–1
–3
 x + y + 1
3
1
–3
–1
 y – 3
–2
2
2
 –2
y
1
5
5
 1
x
1
	–5
 –9
–3
Bài 5.  1.Chứng minh rằng AK vuông góc với HK.
• Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC
có tâm là M.
• Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn đường kính AH
có tâm là N. Cho đường tròn (N) cắt NM tại K’ Þ 
Þ AK’ ^ HK. 
• NM là đường trung trực của dây chung FE mà 
Þ K’F = K’E Þ mà và 
(do tứ giác AFK’E nội tiếp)Þ 
Þ AK’ là phân giác trong góc A mà AK là phân giác trong góc
A(gt) và Þ Þ AK ^ HK(đpcm). 
2. Chứng minh rằng AK là đường kính của (O).​
• 
Þ tứ giác AFHD nội tiếp Þ 
mà là góc nội tiếp của đường tròn (O) Þ AK là đường kính
 của (O) (đpcm).​
 • Xét tiếp các trường hợp: ,, H ở ngoài cạnh BC.
Bài 6. Vào thứ Hai, anh ta chơi bóng bàn và hai ngày sau đó anh ta chơi bóng đá.
• Nếu 0 ngày sau đó anh ta chơi bóng đá thì ngày chơi bóng đá là thứ Hai.
• Nếu 1 ngày sau đó anh ta chơi bóng đá thì ngày chơi bóng đá là thứ Ba.
• Đề bài cho hai ngày sau đó anh ta chơi bóng đá nên ngày chơi bóng đá là thứ Tư.
Suy ra 3 ngày chạy chỉ là: 1) thứ Ba, thứ Năm, thứ Bảy. Khi đó ngày chơi cầu lông là thứ Sáu hoặc Chủ Nhật(không xảy ra vì đều sau ngày chạy)
 2) thứ Ba, thứ Năm, Chủ Nhật. Khi đó ngày chơi cầu lông là thứ Sáu(không xảy ra vì sau ngày chạy thứ Năm) hoặc thứ Bảy (không xảy ra vì khi đó sau ngày bơi thứ Sáu)
Hoặc 3) thứ Ba, thứ Sáu, Chủ Nhật. Khi đó ngày chơi cầu lông là thứ Năm và ngày bơi là thứ Bảy(thỏa điều kiện của đề bài). Vậy thứ Bảy trong tuần Nam đi bơi.
Có gì sai sót, kính mong Thầy Cô và các bạn thông cảm.