Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2015 - 2017 môn: Toán

PHÒNG GD&ĐT NÚI THÀNH
TRƯỜNG THCS TRẦN QUÝ CÁP
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
NĂM HỌC 2015 - 2017
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 24 tháng 10 năm 2017
Bài 1 (4.0 điểm).
a/ Chứng minh rằng: 32n+1 + 2n+2 7, .
b/ Cho a+b+c¹0; a3+b3+c3=3abc. Chứng minh rằng a=b=c
 	.
Bài 2 (5.0 điểm).
1) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 8xy+6x -12y+134=0
2) Cho a, b, c > 0 .Chứng minh rằng : 
Bài 3 (2 điểm) 
Cho biểu thức :
 .
Với giá trị nào của x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 4 (3 điểm).
Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và diện tích tam giác AOB bằng 4 ,diện tích tam giác COD bằng 9 .Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD.
Bài 5 (3 điểm).
Cho tam giác ABC có . Đường trung tuyến BM và đường phân giác CD cắt nhau tại K sao cho KB = KC. Kẻ đường cao AH (H BC). Chứng minh HA = HB.
Bài 6 (3 điểm).
Cho Tam giác ABC cân ở A có góc ABC bằng 1080. Chứng minh là số vô tỉ.	
Họ tên học sinh: .................................................................; Số báo danh: .......................
Giám thị 2: ......................................................................... Ký tên ......................................
PHÒNG GD&ĐT NÚI THÀNH
TRƯỜNG THCS TRẦN QUÝ CÁP
(Đề thi gồm có 04 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: Toán
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1(4đ)
a/ (2đ)
 32n+1 + 2n+2 = 3.32n + 22.2n
 = 3.9n + 4.2n
 = 3( 7 + 2 )n + 4.2n
 = 7K + 3.2n + 4.2n
 = 7K + 7.2n 7, 
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
b/(2đ)
Áp dụng hằng đẳng thức:(A+B)3=A3+B3+3AB(A+B)
 A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)
a3+b3+c3=3abcÛ(a+b)3+c3-3abc-3ab(a+b)=0
Û(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=0
Û(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=0 Vì a+b+c¹0 nên
a2+b2+c2-ab-bc-ca=0 Û(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0 Ûa=b=c
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 2(5 đ)
a)
2,5 đ
Ta có: 8xy+6x -12y-134=0
4y(2x-3)+3(2x-3)-134=0
 (2x-3)(4y+3)=-143
=13.-11=-11.13=-13.11=11.-13=-1.143=143.-1=1.-143=-143.1
Vậy các cặp (x;y) nguyên thỏa mãn là (-5 ;2), (7; -4), ( 1; 35), (73; -1), 
0.5
0.5
1
0.5
b/ 2.5đ
Vì a, b, c >0 , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
Suy ra : 
 (đpcm)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 3
(2đ)
Do và 
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ).
Bài 4
(3 đ)
0.25
Ta có :
Mà 
Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho hai số dương ,ta có 
Vậy: 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi SAOD=SBOC hay tứ giác ABCD là hình thang 
Vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD là 25
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
Bài 5
(3 đ)
Ta có MA = MH = MC => < MHC =<MCH=2gócBCK 
Mà BK = CK =góc BCK=góc KBC=>gocMHC=2góc KBC
Lại có góc MHC=gócKBC+góc KMH
=> BHM cân tại H => HM = HB
Giả sử HA > HB(1) Ta có:
 góc ABH>góc BAH=>góc BAHHAC>600
=>góc AMHAHAH<HB (Mâu thuẩn với (1))
 Tương tự chứng minh được AH <HB không xảy ra
Vậy AH = HB
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
Bài 6
(3 đ)
0.25đ
Kẻ tia Cx sao cho tia Ca là tia phân giác góc BCx, tia Cx cắt tia BA tai D. Khi đó ta có góc DCA = góc ACB = 360 . Góc BAC = 720 , góc D = 720, góc CAD = 720. Suy ra tam giác CAD cân tại C, Tam giác BCD cân tại B
Suy ra BC=BD.
 AC=AB=DC.
Theo tính chất đường phân giác trong của tam giác BCD ta có:
 và ta có BC=BD Suy ra
 BC(BC-CA)= CA2 BC2 -BC.CA= CA2.
BC2 - BC.CA -CA2 =0 .
 Suy ra
 là số vô tỉ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
Hết