Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2014 – 2015 môn: Toán - Trường Thcs Tân Trường

PHÒNG GD & ĐT CẨM GIÀNG
TRƯỜNG THCS TÂN TRƯỜNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2014 – 2015
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề này gồm 5 câu, 1 trang)
Câu 1 (2 điểm) : Cho biểu thức:
A = ; với x
	a) Rút gọn A.
	b) Tính giá trị của A với x =
Câu 2 (2 điểm)
Tìm các số thực x, y, z thoả mãn:
Câu 3 (2 điểm): Cho các số thực dương x, y thoả mãn x + y 
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 
Câu 4 (3 điểm) : 
	Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, vẽ tia Ax AB và tia By AB. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB và C là một điểm trên tia Ax. Vẽ tia Cz sao cho , tia Cz cắt By tại D (AC<BD). Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E; kẻ OHCD, kẻ HKAB. Chứng minh rằng:
	a) OCOD.
	b) OC2.HD = OD2.HC
	c) 
Câu 5 (1 điểm)
 Cho tam giác ABC có các góc nhọn, thoả mãn AB + AC = 2BC.
	 Chứng minh rằng: 2.SinA = SinB + SinC 
---------------- Hết ----------------
PHÒNG GD & ĐT CẨM GIÀNG
TRƯỜNG THCS TÂN TRƯỜNG
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2014 - 2015
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 2 trang)
Câu
ý
Đáp án
Điểm
Câu 1 
(2 điểm)
a
A=
0,25
0,25
 = 
0,25
 = 
0,25
b
Ta có: x =
0,25
0,25
=
0,5
Câu 2
(2 điểm)
Điều kiện: x > 2006; y > 2007; z >2008
Đặt ; ; 
0,25
Đẳng thức đã cho trở thành:
0,25
0,5
 (
0,5
0,5
Câu 3
(2 điểm)
0,25
Do x + y 
0,25
Áp dụng bất đẳng thức Cau-Chy ta có
0,25
0,5
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy giá trị nhỏ nhất của là 3 khi x= 4 và y=2
0,5
0,25
Câu 4
(3 điểm)
Vẽ hình đúng
0,25
a
a) Ta có AOC =HOC (,;CO chung)
và (2 góc tương ứng)
0,25
OC là phân giác góc AOH (1)
0,25
Tương tự ta có OD là phân giác của góc BOH (2)
0,25
Mà (hai góc kề bù )OCOD (đpcm)
0,5
b
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OCD ta có: 
OC2 = CH.CD
OD2 = DH.CD
0,25
0,25
 (đpcm)
0,25
c
Do OA = OH= OB (cmtrên)AHB vuông tại H (tam giác có trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
AHBH 
0,25
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông AHB ta có:
AH2 = AK.AB; BH2 = BK.AB
0,25
Mặt khác CA//HK//DB (cùng vuông góc với AB)
Suy ra:
(Vì HC = AC và HD = DB)
0,25
Từ (3) và (4) suy ra: (đpcm)
0,25
Câu 5 (1điểm)
- Vẽ hình
Kẻ các đường cao AD; BE; CF của 
Xét AEB có SinA=
0,25
XétABD có SinB=
Xét ADC có Sinc =
0,25
 SinB + SinC = 
 =
0,25
Mặt khác 2.SABC = AD.BC = BE.AC (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra 2SinA = SinB+ SinC (đpcm)
0,25