Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm 2015 - 2016

Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 
Trang 1 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – – Quận gò vấp 15-16 
Thời gian: 150 phút 
(NGÀY THI: 7/11/2015) 
Bài 1: (3 điểm) Cho a b 1  và ab 0 . Chứng minh rằng: 
 
3 3 2 2
2 ab 2a b
b 1 a 1 a b 3

 
  
Bài 2: (6 điểm) Giải các phương trình sau: 
a)   2 2x 9 9x 1 20x 1    
b) 
2 2x
5 9x
x

  
Bài 3: (3 điểm) Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện: a b 1  . Tìm GTNN của biểu thức: 
1 9
P a b
a b
    
Bài 4: (3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ 2 đường thẳng vuông góc với nhau. Một đường 
cắt cạnh AD tại K, đường kia cắt bên ngoài cạnh CD tại L. Gọi F là giao điểm của KL và AC. Chứng 
minh: BF KL 
Bài 5: (3 điểm) Cho ABC có  0ABC 30 . Về phía ngoài ABC dựng tam giác đều ACD . Chứng 
minh: 
2 2 2
AB BC BD  
Bài 6: (2 điểm) Trên bảng là một con số. Hai bạn Nhân và Chia cùng chơi một trò chơi như sau: Bạn 
Nhân, khi đến lượt mình thì đem số trên bảng nhân với 2 và đem kết quả này thay cho số trên bảng; 
Bạn Chia, khi đến lượt mình đem số trên bảng cộng 1 rồi chia cho 2 và đem kết quả này thay cho số 
cũ. Ai ra được kết quả bằng 2015 thì người đó thắng. Nhân đi trước, Chia đi sau và sau 2016 lượt chơi 
(mỗi bạn chơi đúng 2016 lần) thì Chia thắng. 
a) Hỏi số trên bảng lúc đầu là bao nhiêu? 
b) Nếu Chia đi trước thì ai sẽ thắng. 
   HẾT   
ĐỀ THI HSG LỚP 9 
QUẬN GÒ VẤP – Vòng 1 (2015-2016) 
Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 
Trang 2 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – – Quận gò vấp 15-16 
Bài 1: (3 điểm) Cho a b 1  và ab 0 . Chứng minh rằng: 
 
3 3 2 2
2 ab 2a b
b 1 a 1 a b 3

 
  
Ta có: 
 
  
 
 
2
2
2 2 2 2 2 2
4 4
3 3 3 3 3 3 3 33 3 2 2
a b 2a b 1 1 2ab 2a b 1a b a a b b
b 1 a 1 a b a b 1 a b 1 3ab 1a b a b a ab b 1
       
   
           
 
 
2 2
3 3 2 2 2 2
2 ab 24ab 2a b 2ab 4
vì ab 0
a b 3ab a b 3 a b 3
  
   
  
Bài 2: (6 điểm) Giải các phương trình sau: 
a)   2 2x 9 9x 1 20x 1    
    x 3 x 3 3x 1 3x 1 20x 1         2 23x 10x 3 3x 10x 3 20x 1       
 
2
2 2
3x 3 100x 20x 1           
2 2
2 2 2
3x 3 10x 1 0 3x 10x 4 3x 10x 2 0           
2 2
5 13 5 19
x x 0
3 9 3 9
      
           
         
5 13
x
3 3
5 19
x
3 3

  


 

Vậy 
5 13 5 19
S ;
3 3 3 3
  
    
  
b) 
2 2x
5 9x
x

  
2 2x
9x 5
x

   (Điều kiện: 
5
x
9
 ) 
    
2
3 2 2
2 2x
9x 5 81x 90x 27x 2 0 3x 2 27x 12x 1 0
x

             
   3x 2 3x 1 9x 1 0     
 
 
 
2
x nhận
3
1 2
x loại x
3 3
1
x loại
9




   


 

 Vậy 
2
S
3
 
  
 
ĐỀ THI HSG LỚP 9 
QUẬN GÒ VẤP – Vòng 1 (2015-2016) 
HƯỚNG DẪN 
Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 
Trang 3 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – – Quận gò vấp 15-16 
Bài 3: (3 điểm) Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện: a b 1  . Tìm GTNN của biểu thức: 
1 9
P a b
a b
    
Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương, ta được: 
1
16a 8
a
9
16b 24
b

 

  

Mà  15 a b 15    . Nên 
1 9
a b 17 P 17
a b
      
Dấu “=” xảy ra khi
1
a
4
3
b
4



 

Vậy 
min
P 17 khi  
1 3
x;y ;
4 4
 
  
 
Bài 4: (3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ 2 đường thẳng vuông góc với nhau. Một 
đường cắt cạnh AD tại K, đường kia cắt bên ngoài cạnh CD tại L. Gọi F là giao điểm của KL và 
AC. Chứng minh: BF KL 
F
LC
A B
D
K
Cách 1: 
Chứng minh được: 
    0ABK CBL ABK CBK;A C 90    ∽ AB BK AB BC
BC BL BK BL
    
Xét BKL và ABC , ta có: 
   
 
 
0
KBL ABC 90
BKL BAC c g c
AB BC
cmt
BK BL
  

    
 

∽  BLF BCF  
 Tứ giác BFCL nội tiếp   0BFL BCL 90 BF KL     
Cách 2: 
Ta có: 
 
ABK CBL KBL ABC BKL BAC    ∽ ∽ 
HK HA
HKF HAB AHK BHF
HF HB
     ∽ ∽ 
     0
BFK HFB HFK HKA HBA 90      BF KL  
Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 
Trang 4 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – – Quận gò vấp 15-16 
Bài 5: (3 điểm) Cho ABC có  0ABC 30 . Về phía ngoài ABC dựng tam giác đều ACD . Chứng 
minh: 
2 2 2
AB BC BD  
L
D
B
C
A
Về phía ngoài ABC dựng tam giác đều BCL  0 0 0 0CBL 60 ABL 30 60 90      
 2 2 2AL AB BL Định lý Pytago ABL vuông tại B    
  2 2 2AL AB BC Vì BL = BC   (1) 
Ta có: 
       0ACD BCL 60 ACD ACB BCL ACB       BCD ACL  
Ta có:  BCD LCA c g c      BD AL 2  
Từ (1) và (2) suy ra: 
2 2 2
AB BC BD  
Bài 6: (2 điểm) Trên bảng là một con số. Hai bạn Nhân và Chia cùng chơi một trò chơi như sau: 
Bạn Nhân, khi đến lượt mình thì đem số trên bảng nhân với 2 và đem kết quả này thay cho số 
trên bảng; Bạn Chia, khi đến lượt mình đem số trên bảng cộng 1 rồi chia cho 2 và đem kết quả 
này thay cho số cũ. Ai ra được kết quả bằng 2015 thì người đó thắng. Nhân đi trước, Chia đi sau 
và sau 2016 lượt chơi (mỗi bạn chơi đúng 2016 lần) thì Chia thắng. 
a) Hỏi số trên bảng lúc đầu là bao nhiêu? 
Gọi x là số trên bảng. 
Sau bước đi của Nhân, số mới là: 2x 
Sau bước đi của Chia, số mới là: 
2x 1
x 0,5
2

  
Như vậy sau 1 lượt chơi thì số trên bảng tăng lên 0,5. 
Do đó sau 2016 lượt chơi số trên bảng là: x 0,5.2016 x 1008   
Vậy x 1007 
b) Nếu Chia đi trước thì ai sẽ thắng. 
Sau bước đi của Chia, số mới là: 
x 1
0,5x 0,5
2

  
Sau bước đi chảu Nhân, số mới là:  2 0,5x 0,5 x 1   
Như vậy sau 1 lượt chơi thì số trên bảng tăng lên 1. 
Do đó sau 1008 lượt chơi thì số trên bảng là: 1007 1008 2015  
Vậy Nhân sẽ là người thắng. 
   HẾT  