Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Thanh Oai năm học 2015-2016 môn thi: Toán - Trường THCS Thanh Mai

PHềNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS THANH MAI
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
NĂM HỌC 2015 - 2016
 Mụn: Toỏn
Thời gian làm bài: 150 phỳt 
Cõu 1: (6 điểm)
1. Cho A = 
a. Rỳt gọn A 
b. Tỡm để A Z 
2. Cho , , là cỏc số tự nhiờn cú 3 chữ số. 
Chứng minh rằng: nếu 37 thỡ và cũng chia hết cho 37.
Cõu 2: (4 điểm)
1. Giải phương trỡnh: =1
2. Cho x, y, z thỏa món xyz = 2015.
Chứng minh rằng: ++=1 
Cõu 3: (3 điểm)
1. Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh:
x4 + x2 + 1 = y2
2. Cho a,b,c là các số dương và a+b+c=2015. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
A= 
Cõu 4 (6.0 điờ̉m). 
Cho điờ̉m M nằm trờn nửa đường tròn tõm O đường kính AB = 2R (M khụng trùng với A và B). Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tiờ́p tuyờ́n Ax. Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phõn giác của cắt nửa đường tròn O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K.
Chứng minh 4 điờ̉m F, E, K, M cùng nằm trờn mụ̣t đường tròn.
Chứng minh .
Xác định vị trí của M trờn nửa đường tròn O đờ̉ chu vi đạt giá trị lớn nhṍt và tìm giá trị đó theo R?
Cõu 5: (1 điểm)
	Tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh:
 1! + 2! +......... + x! = n2 ( x! = 1.2.3........x)
- Hết -
PHềNG GD&ĐT THANH OAI
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2015 - 2016
TRƯỜNG THCS THANH MAI 
Mụn: Toỏn
Cõu 1: (6 điểm)
1. a) ĐK: x ≥ 0; x ≠ 1
Rỳt gọn A = 
b) Vỡ x ≥ 0 nờn 0 A = 1 hoặc A = 2
+) A = 1 => =1 =0 x = 
+) A = 2 => =2 =0 x = 0
2. Ta cú: + 11 = 111a + 1110b + 111c 37 (vỡ 111 37). 
Mà 37 => 11 => 37 (vỡ (11; 37) =1)
Ta cú: 37 => 11 37. Xột tổng: 11 + = 1110a+111b+111c 37 
=> 37 
0.5
1.5
1
0.5
0.5
1.0
1.0
Cõu 2: (4 điểm)
1. (2đ)
2. (2đ) 
 =1 
 + =1
 + =1
Áp dụng: . Dấu bằng xảy ra khi a.b≥0 
=> + =1 khi 2≤ ≤3 5≤x≤10 
Ta cú : = = 
 = = 
Do đú ++= + + = 1 (đpcm)
0.5
0.5
0.5
0.5
Cõu 3: (3 điểm)
1. (1,5d) 
Vỡ x2 ≥ 0 với x 
nờn (x4+x2+1) -(x2+1) (x2)2 <y2 ≤(x2+1)2
do đú y2 = (x2+1)2 => (x2+1)2 = x4+x2+1 x=0 suy ra y= 1
Vậy nhiệm nguyờn (x;y) cần tỡm là: (0;1), (0;-1)
2. (1,5đ)
Ta có: + ≥ a ( Bđt Cụsi cho hai số dương )
Tương tự: + ≥ b ; + ≥ c 
Cộng vế với vế ta được: ≥ 
 Vậy Min A = 2015/2. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c = 2015/3
Cõu 4 (6.0 điờ̉m). 
Hình vẽ
 x
 I
 F 
 M 
 H E 
 K 
 A O B
Ta có M, E nằm trờn nửa đường tròn đường kính AB nờn và .
1.0
Vọ̃y 4 điờ̉m F, E, K, M cùng nằm trờn đường tròn đường kính FK
0.5
Ta có cõn tại A nờn AH = AK (1)
0.5
K là trực tõm của nờn ta có suy ra FK // AH (2)
0.5
Do đó mà (gt) cho nờn 
0.5
Suy ra AK = KF, kờ́t hợp với (1) ta được AH = KF (3)
0.5
Từ (2) và (3) ta có AKFH là hình bình hành nờn HF // AK. Mà suy ra .
0.5
Chu vi của lớn nhṍt khi chỉ khi MA + MB lớn nhṍt (vì AB khụng đụ̉i).
0.5
Áp dụng bṍt đẳng thức dṍu "=" xảy ra , ta có 
0.5
Nờn MA + MB đạt giá trị lớn nhṍt bằng khi và chỉ khi 
MA = MB hay M nằm chính giữa cung AB.
0.5
Vọ̃y khi M nằm chính giữa cung AB thì đạt giá trị lớn nhṍt.
Khi đó
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Cõu 5: (1 điểm)
1! + 2! +......... + x! = n2 
. x=1 suy ra n2 = 1 => n = 1 
. x=2 suy ra n2 = 3 => n Z ( loại)
. x=3 suy ra n2 = 9 => n=3 
. x=4 suy ra n2 = 33 => n Z ( loại)
Ta chứng minh x≥5 phương trỡnh vụ nghiệm. 
Thật vậy x≥5 thỡ 1! + 2! +......... + x! = 33+ 5! + ....... + x! cú chữ số tận cựng là 3 mà n2 khụng cú tận cựng là 3. 
Vậy phương trỡnh cú nghiệm nguyờn dương ( x;n) là (1;1) , (3;3)
- Hết –
DUYỆT CỦA TỔ NGƯỜI RA ĐỀ