Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Thanh Oai năm học 2015-2016 môn thi: Toán - Trường THCS Tân Ước

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNGTHCS TÂN ƯỚC
Đề chính thức
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi: Toán 9
Thời gian làm bài :150 phút( Không kể thời gian giao đề)
(Đề này gồm 01 trang)
Bài 1 (6,0 điểm): 
1) Cho biểu thức 
	 Với 
	 a) Rút gọn biểu thức A.
	 b) Tìm giá trị của biểu thức A -1 khi x= ( có vô hạn dấu căn) là 6
	 c) Với giá trị nào của x thì đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
2) Cho x = . Chứng minh x có giá trị là một số nguyên
 Bài 2 (4,0 điểm )
Giải phương trình + + = (x+y+z) -3000
Chứng minh rằng : nếu 
Với 
Thì 
Bài 3 (3,0 điểm)	
a , Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn : y2+ 2xy -7x-12=0
b, Chứng minh rằng: với a, b là các số dương.
Bài 4 (6 điểm)
Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K.
a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh K là trung điểm của CH.
c) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R.
Bài 5 (1,0điểm) Cho x,y là các số dương thoả mãn: x+y = 4
 Tìm giá trị nhỏ nhất của 
--------------------------- Hết -------------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán
Bài 
Nội dung 
Biểu điểm 
Bài 1
1)
a) Với điều kiện ta có:
 )
b) ta có x= ( vô hạn dấu căn) với x>0
 x2 = 6+ ( vô hạn dấu căn)
 x2 = 6 +x
 x2- x -6 =0
 ( x+2)(x-3) = 0
 x= -2( loại) hoặc x=3( nhận)
 Ta có : A-1= 
Do vậy, giá trị của biểu thức A-1 tại x=3 là:
c) ta có . 
 Để có GTNN thì có GTLN, hay có GTNN.Ta có: , dấu "=" xảy ra khi x = 0.
Giá trị nhỏ nhất của là , xảy ra khi x = 0. 
(0,5 đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ) 
(0,5đ)
(0,5đ)
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25đ
2, Đặt x = a + b; a3 + b3 = 2; ab = .
 Ta có: x3 = (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
Suy ra: x3 = 2 – x x3 + x – 2 = 0 	
x = 1. Vì x2 + x + 2 = . Từ đó suy ra điều phải chứng minh
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 2
a)
ĐK: 	(*)
 Do ≥ 0, ≥ 0, ≥0
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có :
 = ≤ 
 = ≤ 
 = ≤ 
 Vậy : + + ≤ (x+y+z)-3000
 Dấu "=" xảy ra Û x-2000= y-2001= z-2002=1	
 Û ( thoả man đk (*) )
 Vậy nghiệm của phương trình là: x=2001, y=2002, z=2003
b , 
 (vì )
 (vì )
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 3
Ta có : y2+2xy -7x -12 =0
 4y2+ 8xy -28 -48 = 0
 4y2-49 +4x(2y-7) = -1
 ( 2y -7)(2y+7+4x) =-1
 Vậy ta có 
 Hoặc 
 Vậy các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn điều kiện đề bài là:
(x;y) 
b) Ta có: 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta được:
Từ (2) và (3) suy ra: 
Từ (1) và (4) suy ra:
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25 đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 4
1) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn (2đ)
Chứng minh OI AC.
Suy ra OIC vuông tại I suy ra I thuộc đường tròn đường kính OC. CH AB (gt) CHO vuông tại H H thuộc đường tròn đường kính OC.
Suy ra I, H cùng thuộc đường tròn đường kính OC, hay C, I, O, H cùng thuộc một đường tròn.
0.75đ
0.25đ
0.75đ
0.25đ
2) Chứng minh K là trung điểm của CH (2điểm)
MAB có KH//MA (cùng AB)
 (1)
Chứng minh cho CB // MO (đồng vị).
C/m MAO đồng dạng với CHB 
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra CH = 2 KH CK = KH K là trung điểm của CH.
0,75đ
0,25đ
0.75đ
0.25đ
3) Chu vi tam giác ACB là 
Ta lại có:
 (theo đl pitago)
Đẳng thức xảy ra khi AC = CB M là điểm chính giữa cung AB.
Suy ra , dấu "=" xảy ra khi M là điểm chính giữa cung AB.
Vậy max đạt được khi M là điểm chính giữa cung AB.
0,25đ
0,5 đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 5
 Ta có 
Cũng từ 
Từ ( *) Và (**) suy ra A = 
 dấu " =" xảy ra .
 Vậy Min A = 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ