PHÒNG GD&ĐT-THANH OAI TRƯỜNG THCS KIM AN ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN Năm học: 2015 - 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ BÀI Câu 1 (6 điểm) Cho P = . a, Rút gọn P. b, Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. Câu 2 (4 điểm) a, Giải phương trình: + = x + 4 b, Cho 00 < < 900 và sin+ cos. Tính tan Câu 3 (3 điểm) a, Cho a, b, c > 0 thỏa mãn biểu thức a + b + c = 1 Chứng minh rằng: . b, Cho 0 < x < 1. Tìm GTNN của . Câu 4 (6 điểm) Cho tam giác ABC có , kẻ đường cao AH (H thuộc BC). Vẽ đường tròn ( I; ) nó cắt AB tại P và AC tại Q. Qua P và Q vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn ( I; ), chúng cắt BC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng: a, PE// QF. b, AB . AP = AQ . AC c, Cho AB = 5cm; AC = 12cm. Tính EF. d, Giả sử BC cố định còn A di động nhưng luôn nhìn BC dưới một góc 900. Tìm vị trí của A để diện tích tam giác APQ lớn nhất. Câu 5 (1 điểm) Chứng minh rằng không tồn tại x, y là số nguyên thỏa mãn biểu thức: 2012x2015 + 2013y2018 = 2015. ---------------- Hết -------------- Người ra đề: Nguyễn Thị Thu Hường Người kiểm tra đề: Hà Thị Thủy ĐÁP ÁN CHẤM TOÁN 9 Năm học: 2015 – 2016 Câu Nội dung Điểm 1 (6 điểm) a, P = . đk: P = . P = . P = . (1 - + 3x - ) P = . (3x - 2 + 1) P = . ( - 1)2 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b, Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. Ta có P P = (- 2) + 2 + P = + Để P có giá trị nguyên thì(2) Từ (2) có Vậy với x = 3 thì P có giá trị nguyên. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0.5đ 0,5đ 0,5đ 2 (4 điểm) a, Giải phương trình: + = x + 4 điều kiện: x -3 = 2x + 8 2x + 8 - = 0 (x - + 1) + x + 3 - 4 + 4 = 0 = 0 x=1 (thỏa mãn) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,75đ b, b, Cho 00 < < 900 và sin+ cos. Tính tan. Vì sin+ cos Mà nên (5cos- 4) (5cos- 3) = 0 Vậy nếu và Hoặc nếu và 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,75đ 0,25đ 0,25đ 3 (3 điểm) a, Ta có: Tương tự: và Mà: Nên Dấu (=) xảy ra khi a = b = c = 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ b, Ta có: 0 0 Và . Vì Do đó: . Dấu (=) xảy ra khi Kết luận: giá trị nhỏ nhất của A là (5 + 2) khi x = 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 4 (6 điểm) Vẽ hình đúng được 0,25điểm A Q K I I P B a, Chứng minh được: E H F C +) P, I, Q thẳng hàng +) PE, QF cùng vuông góc với PQ. 0,5đ 0,75đ b, +) APHQ là hình chữ nhật +) góc BAH bằng góc C +) góc APQ bằng góc BAH +) tam giác APQ đồng dạng với tam giác ACB (g-g) 0,5đ 0,25d 0,25đ 0,5đ c, +) Tính BC = 13cm +) E là trung điểm của BH; F là trung điểm của HC +) EF = BC = 6,5cm 0,5đ 0,5đ 0,5đ d, Kẻ AKPQ ta có SAPQ= AK . PQ = AK . AH Vì AKAH nên SAPQ AH2 SAPQ lớn nhất AH lớn nhất AH là trung tuyến của ABC ABC là vuông cân tại A. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 5 (1 điểm) Ta có với mọi x thì 2012x2015 4 nên là số chẵn. +) Nếu y là số chẵn thì 2013.y2018 là số chẵn, vì y2018 là số chẵn. Do đó: (2012x2015 + 2013.y2018) là số chẵn mà 2015 Là số lẻ (vô lí). +) Nếu y là số lẻ thì y1009 là số lẻ. Do đó chọn y1009 = (2n+1) (nZ ) Thì 2013. y2018 = 2013 . (2n+1)2 = 2013. (4n2 + 4n + 1) = 4 . 2013 (n2 +n) +2013 Nên 2012.x2015 + 2013. y2018 chia cho 4 dư 1 Còn số 2015 chia cho 4 dư 3. (vô lí) Vậy không có số nguyên x, y nào mà 2012x2015 2013.y2018 = 2015 0,25đ 0,25đ 0,5đ
Tài liệu đính kèm: