Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Thanh Oai năm học 2015-2016 môn thi: Toán - Trường THCS Bình Minh

Phòng GD huyện Thanh Oai
Trường THCS Bình Minh
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9
năm học 2015- 2016
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (6đ)
a. Cho biểu thức:
1.Rút gon P
2.Tính P tại x=7+2 
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x>1
b. Chứng minh rằng: Với mọi n N . Ta có 
Bài 2:(4đ)
a.Giải phương trình:
b.Cho a,b,c 0 và a3b3+ b3c3 + c3a3 =3a2b2c2
Tính 
Bài 3:(3đ)
a.Tìm nghiệm nguyên của phương trình
 (x+2)4 _ x4 = y3
b. Cho x,y>0 và x+y=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 
Bài 4:(6đ)
 Cho đường tròn tâm O bán kính R, từ một điểm S ở ngoài đường tròn vẽ các tiếp tuyến SA.SB ( A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của (O), tiếp tuyến tại C cắt AB tại E. Chứng minh: 
Bốn điểm A,O,S,B thuộc cùng một đường tròn.
AC2 = AB.AE
SO // CB
OE vuông góc với SC
Bài 5: (1đ) Tìm a,b là các số nguyên dương sao cho: a + b2 chia hết cho a2b-1
Đáp án + biểu điểm 
Bài 1: a) (4đ)
 1.(2đ)
Tìm được ĐK: ,
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
 2. (1đ) Ta có x= 
Thay vào biểu thức ta có 
0.5đ
0,5đ
 3. Ta có 
Do x>1. Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho 2 số dương ta có
P . Dấu “ =” xảy ra khi x= (1+)2
Vậy Min P= khi x= (1+ )2
0,5đ
0,25đ
0,25đ
 b. Đặt A= 33n+3 - 26n – 27 = 27.27n – 26n - 27 =27.(27n – 1) -26n 
= 27(27-1)(27n-1 + 27n-2 ++27+1) - 26n
=26( 27n+27n-1+27n-2++27 – n)
=26. 
=26.bội số của26 169(đpcm)
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 2:(4đ)
a) (2đ)
ĐK: 
Biến đổi:
 Giả sử 2 vế của phương trình cùng dấu, bình phương 2 vế ta được
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
b)(2đ) Đặt ab=x;bc=y;ca=z. Ta có x3 + y3 + z3 = 3xyz
Biến đổi ta được: 
Nếu x+y+z=0 A=-1
Nếu x=y=z a=b=c A=8
0,75đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
Bài 3: (3điểm)
1,5d) Giải: (x+2)4 –x4 =y3
 x4 +8x3 +24x2 + 32x + 16 –x4 = y3
 8x3+24x2 +32x +16 =y3
 Vì 12x2 + 22x +11 = 11(x+1)2 + x2 >0
 12x2+ 26x +15 = 11(x+1)2 + (x+2)2>0
Ta có : (8x3 +24x2 + 32x +16) - (12x2 + 22x +11) < y3 < (8x3 +24x2 + 32x +16) + ( 12x2+ 26x +15)
 (2x+1)3 <y3 < (2x+3)3 . Do đó y = 2x+2
 8x3+24x2 +32x +16 = 8x3 + 24x2 + 24x +8
 8x =-8 x=-1 ; y=0. Vậy nghiệm nguyên của phương trình là
(-1 ;0)
b) (1,5đ) 
Chứng minh bất đẳng thức 2(a2 + b2 ) (a + b)2 với mọi a,b
 Và bất đẳng thức : với mọi a,b > 0
 Dấu “=” xảy ra khi a=b.
Áp dụng các bất đẳng thức trên ta có:
 = ( do x+y =1)
Dấu “=” xảy ra khi x= y =0,5
Vậy Min A = 12,5 x= y =0,5
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
Bài 4:(6đ)
a.
Vẽ đúng hình chứng minh được 4 điểm A,O,S,B cùng thuộc 1 đường tròn đường kính SO
E
S
b.Cm được AC2=AB.AE y
O
C
c. Cm được SO//CB 
 d. CmAECđồng dạng SOA OCE đồng dạng SAC từ đó suy ra OE vuông góc với SC
1,5đ
1,5đ
1,5đ
1,5đ
Bài 5: (1đ) 
Đặt 2(x+y)=k(xy+2) với k
Nừu k=1
Tìm được x=4 ; y=3
Nừu k vô lí (loại)
Vậy x=4. y=3
1,0đ
Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm.