Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Thanh Oai năm học 2015-2016 môn thi: Toán - Trường THCS Bích hòa

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015-2016
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút
Bài 1 : (5,0 điểm)
 Cho biểu thứcP = 
 a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P khi 
c) Tìm giá trị lớn nhất của P.
Bài 2: (4,0 điểm) 
Giải phương trình: 
Tìm số tự nhiên n ≥ 1 sao cho 1! + 2! + 3! + 4! +  + n! là số chính phương.
Bài 3: (4,0 điểm)
Cho x.y > 0 và x + y = 1.
Chứng minh rằng: 
Chứng minh bất đẳng thức sau:
Bài 4: (5,0 điểm) 
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng xy không giao nhau. Từ một điểm M tùy ý trên xy kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O), trong đó P, Q là các tiếp điểm. Qua O kẻ OH vuông góc với xy, dây PQ cắt OH tại I, cắt OM tại K. Chứng minh:
OI.OH = OK.OM = R2
PQ luôn luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M thay đổi trên xy.
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, trực tâm H. Tính độ dài AD biết AH = 14cm; BH = CH = 30cm.
---------------------------------Hết-----------------------------------
ĐÁP ÁN- THANG ĐIỂM
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
(5điểm)
a)ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 0; xy ≠ 1
P =
0,5
0,5
1,5
0,5
1,0
(Dấu ‘=’ xảy ra khi x = 1 và y ≠ 1)
Vậy Max P = 1 khi và chỉ khi x = 1 và y ≠ 1, y≥ 0
0,5
0,5
Bài 2
(4điểm)
ĐKXĐ: x ≥ 
Nhân 2 vế với ta được:
ó
ó
ó(TMĐK)
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
b)- Với n = 1 thì 1! =1= 12 là số chính phương
- Với n = 2 thì 1!+2! = 1+1.2 = 3 không là số chính phương
- Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! =1 + 1.2 + 1.2.3 =9 = 32 là số chính phương
- Với n ≥ 4 thì 1! + 2! + 3! + 4! =1 + 1.2 + 1.2.3 +1.2.3.4 = 33 
còn 5!; 6!; 7!;; n! đều có tận cùng bằng 0. Do đó :
1! + 2! + 3! + 4! +  + n! có tận cùng bằng 3 nên không là số chính phương.
Vậy có hai số tự nhiên thỏa mãn là n = 1; n = 3.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
Bài 3
(4điểm)
a) Từ giả thiết 
Ta có:
Lại có:
Suy ra: 8.(x4 + y4) (2).
Từ (1) và (2) suy ra:
Ta có đpcm.
0,5
0,5
0,5
0,5
Vì => ; và nên
Cộng từng vế ta suy ra điều phải chứng minh.
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 4
(5điểm)
O
I
P
Q
K
M
H
x	y
0,5
a) Δ OMH đồng dạng với Δ OIK (g-g), ta có:
 suy ra OI.OH = OM.OK (1)
Tam giác OPM vuông ở P mà PK OM nên:
R2 =OP2 = OK.OM (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OI.OH = OK.OM = R2
1,0
1,0
0,5
b)Từ câu a) suy ra OI=
Do R không đổi, OH không đổi nên OI không đổi, do đó điểm I cố định. Vậy khi điểm M thay đổi trên xy thì các dây cung PQ luôn luôn đi qua điểm I cố định.
1,0
1,0
Câu 5
(2điểm)
Gọi E là điểm đối xứng với H qua BC. Ta có BHCE là hình thoi, ΔABE vuông tại B nên BE2 = ED.EA. Đặt DE =x.
Có hai trường hợp:
0,5
A
H
B
C
D
E
x
TH1: .
ta có:x(2x+ 14) = 302
Giải phương trình ta được
x =18 thỏa mãn.
Từ đó tính được AD=32cm
0,75
x
TH2: 
x
H
B
C
E
D
A
Ta có x(2x-14) = 302
Giải phương trình ta được:
x= 25 thỏa mãn
Từ đó tính được AD = 11cm.
0,75