Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Thanh Oai năm học 2013 - 2014 môn thi: Toán - Trường THCS Cao Viên

PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THANH OAI
Trường THCS Cao Viờn 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013 - 2014
Mụn thi: Toỏn
Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 27/11/2013
(Đề thi này gồm 01 trang)
Bài 1: (5,0điểm) 
Cho biểu thức 
 1. Tỡm điều kiện xỏc định và Rỳt gọn biểu thức A.
 2. Tớnh giỏ trị của A khi 
 3. So sỏnh A với .
Bài 2 : ( 4,0 điểm )
Giải phương trỡnh: 
Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh : 
Bài 3 : ( 4,0 điểm ) 
T ớnh tổng S = 
Cho ba số dương thoả món Chứng minh rằng:
Bài 4 : ( 5,0 điểm ) 
 Cho đường trũn (O;). AB và CD là hai đường kớnh cố định của (O) vuụng gúc với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hỡnh chiếu của M trờn CD và AB.
 1.Tớnh 
 2.Chứng minh: 
 3.Tỡm vị trớ điểm H để giỏ trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.
 Bài 5: ( 2,0 điểm ) 
 Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AB < AC. Vẽ trung tuyến AM của tam giỏc ABC, gúc ACB bằng α, gúc AMB bằng b. Chứng minh rằng: 
-------------------------------H ết ----------------------------------------------
phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai
Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9
 Năm học 2013 - 2014
 Môn thi : Toán
 Bài 1:( 4 điểm )
1) Rỳt gọn biểu thức (2 điểm) 
 ĐK : 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2) Tớnh giỏ trị của A khi (1 điểm).
 Tớnh 
1,5đ
3) So sỏnh A với (1 điểm).
 Biến đổi 
 Chứng minh được với mọi 
1,5đ
Bài 2. (4,0 điểm)
1) ĐK : 
Từ (1) suy ra: x = 1 .
Từ (2), ta cú : x22 – 4x + 8 = (x – 2)2 + 4 4 với mọi x
ị , với mọi x. ị (2) khụng xảy ra
Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất : .
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25
0,25đ
 2) Tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh: 
 Biến đổi phương trỡnh đó cho ta được 
 .
 Do đều chia hết cho 8; (15;8)=1 nờn là số chớnh phương&chia hết cho 8 . Ta cú cỏc TH sau:
* . Do 156 khụng là số chớnh phương nờn TH này vụ nghiệm
* Do 126 khụng là số chớnh phương nờn TH này vụ nghiệm
* 
Ta được hoặc 
Vậy (x; y) là (-5; 10); (-17; 10); (-1; -6); (11; -6)
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 3( 4điểm)
 Trước hết ta đi chứng minh cụng thức tổng quat sau: Với mọi số tự nhiờn k >0 thỡ: 
Thật vậy: 
Khi đú thay lần lượt cỏc giỏ trị k tương ứng ta cú.
k =1: 
k =2: 
k = 3: 
.
k = 2013: 
Cộng theo vế cỏc đẳng thức trờn ta cú: 
0,5đ
1đ
0,5đ
 Bất đẳng thức đó cho tương đương với 
với 
0,5
Ta cú: 
0,75
Tương tự: 
0,25
Từ đú ta cú đpcm. Dấu bằng xảy ra khi 
0,5
Bài 4:( 5 điểm)
0,5đ
Vỡ M thuộc (O) nờn cỏc tam giỏc: BMA và CMD vuụng tại M nờn:
= 
 = 1 + 1 = 2
1,5đ
Chứng minh: 
Thật vậy: KOHM là hỡnh chữ nhật nờn: OK = MH
Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng MAB cú MH đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH
Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH)
0,75
0,75
P = MA. MB. MC. MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vỡ MK = OH)
Mà OH.MH(Pitago)
Vậy . đẳng thức xẩy ra MH = OH 
OH =
0,75
0,25
0,25
0,25
 Bài 5:( 2 điểm)
0,25
Từ A vẽ AH BC
Vỡ AB < AC nờn HB < HC.
Do đú H nằm giữa B và M
Nờn sin = = ( Vỡ AM = BC Theo t/c trung tuyến trong tam giỏc vuụng)
0,25
0,25
Mặt khỏc: (sin = sin2+ cos2+ 2sin.cos
= 1 + 2sin.cos
Mà 2sincos = 2 = 2
Do đú sin = 2sincos
Vỡ vậy (sin = 1+ sin.
( Nếu học sinh sử dụng cụng thức nhõn đụi trong lượng giỏc thỡ phải chứng minh được nú)
0,25
0,25
0,25
Chỳ ý : nếu thớ sinh làm theo cỏch khỏc mà đỳng vẫn được điểm tối đa.