Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện năm học 2009 - 2010 môn thi: Toán

PHÒNG GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN 
 HUYỆN ĐỨC TRỌNG NĂM HỌC 2009- 2010 
 MÔN THI : TOÁN
 Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian phát đề)
ĐỀ BÀI:
Bài 1(1đ): Tính giá trị biểu thức sau:
	A=
Bài 2(1,5đ): Tìm đa thức bậc hai P(x). Biết rằng đa thức đó chia cho các đa thức (x-1); (x+1); (x+2) có số dư lần lượt là 6027; 2009; 6030.
Bài 3(1,5đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 - 28x2 - 31x + 58
Bài 4(1đ)): Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm với mọi xR.
 x4 - x3 + 2x2 - x + 1 = 0
Bài 5(2 đ): Giải hệ phương trình sau: 
Bài 6(1 đ): Với a; b; c là các số dương thỏa . 
 Chứng minh rằng: 
Bài 7(1,5 đ): Chứng minh rằng: là số vô tỷ.
Bài 8(1 đ): Chứng minh rằng tổng của tích bốn số nguyên dương liên tiếp với 1 là một số chính phương.
Bài 9(1,5 đ): Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, thì phân số sau: tối giản.
Bài 10(1 đ): Chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên lẻ, thì 
Bài 11(2 đ): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R).Chứng minh rằng :.
Bài 12(2 đ): Cho AB, BC, CA là ba dây cung của đường tròn (O). Gọi AE là phân giác của góc BAC, EBC. Chứng minh : AB.AC - EB.EC=AE2.
Bài 13(3 đ): Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi BN; CM lần lượt là các đường cao (MAB; NAC).
	a/ Chứng minh rằng: MN // BC.
	b/ Cho AB = c ;BC = a . Tính MN theo a và c.
 ------------HẾT-----------
ĐÁP ÁN CHẤM BÀI THI 
HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 MÔN TOÁN
NĂM HỌC : 20009 -2010.
Bài 1(1đ):Tính giá trị biểu thức sau:
	A=
 = (0,5 đ)
 (0,5 đ)
Bài 2(1,5đ):Tìm đa thức bậc hai P(x).Biết rằng đa thức đó chia cho các đa thức (x-1); (x+1); (x+2) có số dư lần lượt là 6027; 2009; 6030.
Lập luận được p(1)=6027; p(-1)=2009; p(-2)=6030 (0,5 đ)
Đưa được về hệ phương trình (0,5 đ)
Giải hệ tìm được a,b,c và kết luận được đa thức cần tìm :2010x2+2009x+2008 (0,5 đ)
Bài 3(1,5đ):Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3 - 28x2 - 31x + 58
Tách số hạng hợp lý để nhóm :x3-27x2-x2-58x+27x+58 (0,5 đ)
Đưa về (x-1)(x2-27x-58) (0,5 đ)
Tách và phân tích (x2-27x-58) và đưa về kết quả cuối cùng
 (x-1)(x+2)(x-29) (0,5 đ) 
Bài 4(1đ)):Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm với mọi xR.
 x4 - x3 + 2x2 - x + 1 = 0 (0,5 đ) 
Phân tích được vế trái đưa về phương trình tích
 (x2+1)(x2-x+1)=0 (0,5 đ) 
Lập luận được vế trái luôn dương với mọi x,kết luận phương trình vô nghiệm 
Bài 5(2 đ):Giải hệ phương trình sau:
Đưa hệ đả cho về hệ (0,5 đ) 
 Đặt biến phụ u=x+y ;v=xy và đưa về hệ (0,5 đ) 
Giải hệ trên đưa về; (0,5 đ) 
giải tìm được x và y (0,5 đ) 
Bài 6(1 đ):Với a;b;c là các số dương thỏa 
 Chứng minh rằng: 
Chứng minh và vận dụng được bất đẳng thức 2(x2 +y2) (x+y)2. (0,5 đ) 
2(a+b)4c .Từ đó có đpcm (0,5 đ) 
Bài 7(1,5 đ): Chứng minh rằng: là số vô tỷ
Biến đổi và khai phương được dấu căn trong cùng (0,5 đ) 
Biến đổi và khai phương được dấu căn tiếp theo (0,5 đ) 
Biến đổi và đưa về được kết quả và kết luận (0,5 đ) 
Bài 8(1 đ): Chứng minh rằng tổng của tích bốn số nguyên dương liên tiếp với 1 là một số chính phương.
Viết được A= n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1 (0,5 đ) 
Đặt y=n2+3n; và đưa về được y2 +2y+1=(y+1)2 và kết luận (0,5 đ) 
Bài 9(1,5đ): Với n nguyên dương ,thì phân số sau : tối giản.
Cần chứng minh ƯCLN(21n+4;14n+3)=1.
Gọi ƯCLN(21n+4;14n+3)=d, với d 1.
suy ra 21n+4=kd;14n+3=hd;với k,h nguyên dương (0,5 đ) 
Suy ra 7n+1=(k-h)d;do đó 21n+3=3(k-h)d (0,5 đ) 
Vì vậy :1=(3h-2k)d; d=3h-2k=1.kết luận (0,5 đ) 
Bài 10(1 đ):Nếu n là số tự nhiên lẻ, thì A=
Viết được A=3(17n+12n) với n lẻ; Vận dụng Xn+Yn= (X+Y)(Xn-1-..); (0,5 đ) 
 A=3(17+12).B kết luận A chia hết cho 29 (0,5 đ) 
Bài 11(2 đ):Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R).Chứng minh rằng :
Vẽ thêm đường kínhCD . (0,5 đ)
vận dụng hệ thức lượng trong
 Tam giác vuông ACD ; và tam giác vuôngBCD có 
Suy ra điều cần chứng minh (0,5 đ)
Bài 12(2 đ):Cho AB,BC,CA là ba dây cung của đường tròn (O).Gọi AE là phân giác của góc 
BAC,(EBC).Chứng minh :AB.AC - EB.EC=AE2.
Nối AE cắt đường tròn (O)tại D .Vận dụng tính chất góc nội tiếp chứng minh được
T am giác ADB đồng dạng tam giác ACE . Viết được hệ thức AB.AC=AE.AD (1) (0,75 đ)
T am giác ECA đồng dạng tam giác EDB . Viết được hệ thức EC.EB=AE.ED (2) (0,75 đ)
Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh (0,5 đ)
Bài 13(3 đ):Cho tam giác ABC cân tại A, gọi BN; CM lần lượt là các đường cao (M(AB;NAC).
	a/ Chứng minh rằng :MN // BC.
	b/ Cho AB= c ;BC=a .Tính MN theo a và c.
câu a/
chứng minh được MB =MC (0,5 đ)
Lập được tỷ lệ thức suy ra MN//BC (0,5 đ)
câu b/ viết được tỷ số Suy ra (1) (0,5 đ)
kẻ đường cao AK . Chứng minh tam giác ACK đồng dạng BCN .Viết được hệ thức
 ;tính AN=AC-CN (2) (1 đ)
Từ (1)và (2) tính được MN (0,5 đ)
 --------HẾT-------