Đề thi học sinh giỏi lớp 8 huyện Hạ Hòa năm học: 2014 – 2015 môn: Toán

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA
Đề chính thức
KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học: 2014 – 2015 
Môn: Toán
Ngày thi: 10 tháng 4 năm 2015
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
( Đề thi có 1 trang)
Câu 1. (3,0 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: .
Câu 2. (5,0 điểm)
Cho biểu thức: .
 Tìm để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức.
Giải phương trình sau: 
Câu 3. (4,0 điểm)
Cho là số tự nhiên lẻ. Chứng minh chia hết cho 24.
Tìm số tự nhiên để là một số chính phương.
Câu 4. (7,0 điểm) 
Cho hình thang vuông tại A và D. Biết CD=2AB=2AD và .
a) Tính diện tích hình thang theo .
b) Gọi I là trung điểm của BC, H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC. Chứng minh .
Cho tam giác có . Độ dài các đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt là . 
Chứng minh rằng: 
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho hai số không âm và thoả mãn . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 	.
---------------Hết----------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: .................................................................Số báo danh:.......................
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Ngày thi: 10 tháng 4 năm 2015
Hướng dẫn chấm có 04 trang
Câu 1
Hướng dẫn giải
(3.0 điểm)
(3.0 điểm)
Ta có 
0,5
0.5
0.5
0.5
0.5
 Kết luận 
0.5
Câu 2
(5,0 điểm)
1 
(2.5 điểm)
Ta có 
ĐK: 
0.5
0.5
Khi đó:
0.5
0.5
Vậy xác định khi và 
0.5
2
(2,5 điểm)
0.5
Đặt phương trình trở thành
0.5
0.5
Với y = 29 ta có: 
0.5
KL: Phương trình có tập nghiệm .
0.5
Câu 3
(4 điểm)
1
(2 điểm)
Ta có 
0.5
Vì là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một trong ba số đó chia hết cho 3. Do đó (1)
0.5
Vì là số tự nhiên lẻ nên và là hai số tự nhiên chẵn liên tiếp. Do đó (2)
0.5
Vì và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với (1), (2) suy ra (đpcm)
0.5
2
(2 điểm)
+ Giả sử 
+ Suy ra 
0.5
+ Mặt khác và nên có các trường hợp sau xảy ra:
TH1: 
0.5
TH1: 
TH3: 
0.5
Vậy các số cần tìm là: 1002; 138; 2.
0.5
Câu 4
(6 điểm)
1
(4,5 điểm)
0.5
 a) + Gọi E là trung điểm của CD, chỉ ra ABED là hình vuông và BEC là tam giác vuông cân.
 0.5
+ Từ đó suy ra 
0.5
 + Diện tích của hình thang ABCD là 
0.5
0.5
b) + (1) (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng vuông góc) 
0.5
 + Xét hai tam giác ADC và IBD vuông tại D và B có
 , do đó hai tam giác ADC và IBD đồng dạng.
 Suy ra (2)
0.5
 + Từ (1) và (2), suy ra 
0.5
 + Mà hay 
0.5
2
(2,5 điểm)
0.5
+ Gọi AD là đường phân giác trong góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB tại M. 
Ta có (hai góc ở vị trí đồng vị)
 (hai góc ở vị trí so le trong)
 Mà nên hay tam giác ACM cân tại A, suy ra 
0.5
+ Do AD//CM nên 
0.5
+ Mà (1)
0.5
+ Tương tự ta có
 (2); (3)
Cộng (1), (2), (3) theo vế, ta có đpcm
0.5
Câu 5 1điểm
+ Chứng minh được với hai số dương thì 
0.25
+ Do đó 
0.5
+ Kết luận: GTLN của S là , đạt được khi .
0.25
Điểm toàn bài
(20 điểm)
Lưu ý khi chấm bài:
	Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.